Баллистика — наука о движении снарядов после выстрела. В узком смысле она изучает движение тел, брошенных под углом к горизонту. В теме 1 мы говорили про движение по одной оси. Сейчас добавляется вторая ось, движение становится двумерным.
Решение баллистической задачи. Главная задача — понять, как движется тело под действием силы притяжения после выстрела.
Как решить? Как учитывать сопротивление воздуха для тел разной формы и то, что притяжение Земли меняется с высотой? Это непростая задача, поэтому мы рассмотрим упрощённую модель, в которой:
— сила тяжести постоянна;
— не учитывается сопротивление воздуха.
Импетус. Леонардо Да Винчи считал, что у тела есть характеристика, которую он назвал импетусом. По его предположению, пущенное под углом к горизонту, летит прямо и с постоянной скоростью, пока его импетус не иссякнет и оно не рухнет прямо вниз в точке, где закончился импетус.
Звучит бредово! Но его представления о баллистике давали довольно правдоподобные результаты, которые согласовывались с практикой. Прочитайте § 1.24 (с.105) из учебника, и объясните, почему.
Равномерное прямолинейное движение.
Что изменится при добавлении к горизонтальной оси (Ox) ещё и вертикальной (Oy)?
Проекции. Допустим, скорость направлена под углом к оси Ox. Теперь мы говорим уже о проекциях движения на оси Ox и Oy. Вспомним про проекцию.
Усложнений при появлении второй оси, по сути, нет, потому что мы рассматриваем движение по каждой оси в отдельности: отдельно по горизонтали, отдельно по вертикали. Поэтому будет два уравнения движения:
Скорость — это вектор, который задается с помощью двух чисел, с помощью двух проекций на две оси:
Как и любой вектор, вектор скорости имеет длину, т.е. модуль скорости. Его мы считаем по теореме Пифагора.
Представь: комната 8 на 6 метров. Бежишь из одного конца комнаты в другой по диагонали со скоростью 5 м/с. Вдоль длинной стороны вы будете перемещаться со скоростью 4 м/c, а вдоль короткой со скоростью 3 м/с.
Если ось Ox направить вдоль короткой стороны, а ось Oy вдоль длинной, то вектор скорости будет задаваться с помощью двух чисел:
Если мы знаем модуль скорости и угол, под которым скорость направлена к оси Ox, то мы можем легко посчитать проекции вектора скорости на оси, то есть скорости по осям Ox и Oy:
где V -модуль скорости, а -угол наклона относительно оси Ox.
В примере про комнату Cos a=3/5, если а – угол между меньшей стороной комнаты и диагональю, а
Нужно лишь выбрать направления осей координат и найти, где тело будет через некоторый промежуток времени.
Обычно ось Ox делают сонаправленной с горизонтом, а ось Oy пускают перпендикулярно ей по вертикали. НО! Так делать не всегда удобно. Мы всегда вольны направить оси координат так, как нам угодно (точнее, удобно ☺) в конкретной задаче.
Да Винчи стайл! Пусть даны уравнения движения x=3+2t и y=t. Найдите модуль скорости, а также путь за первую секунду движения и косинус угла наклона вектора скорости по отношению к оси Ox.
Используем «Метод Да Винчи» и рассчитаем, через какое время должен закончиться импетус пушечного снаряда, чтобы он свалился в 5-ти метрах за каменной стеной высотой 4 метра, если из пушки он вылетел со скоростью 5 м/с. Пушка находилась в 50 метрах от стены и снаряд пролетал прямо над верхним краем стены.
Посчитай также угол, под которым тело бросили к горизонту и проекции скорости на вертикальную и горизонтальную оси. Напишите уравнения движения на оси Ox и Oy.
Равноускоренное движение.
Все тела испытывают ускорение свободного падения. Поэтому Леонардо всё- таки был не прав, и тела не двигаются прямолинейно и равномерно до полного истечения их импетуса. Под действием постоянной силы они двигаются по некоторой кривой, которая называется параболой.
Движение тела под углом к координатным осям описывается двумя уравнениями (проекциями на оси), в которые теперь входит и ускорение:
где обозначения все те же, что и в случае прямолинейного движения, только добавилось ещё и ускорение по соответствующей оси – , – начальная скорость по оси Ox
тут все снова аналогично.
Ускорение тоже нужно раскладывать по осям Ox и Oy.
К примеру, если ось Ox направлена вправо, а Oy направлена вверх, а ускорение это g, и начальная координата равна нулю, то всё выглядит не сложно:
Тангенциальное и нормальное ускорения. Как ускорение изменяет скорость? — изменять величину скорости;
— изменять направление вектора скорости.
Помимо разложения ускорения по осям Ox и Oy, можно разложить ускорение ещё на другие две составляющие: тангенциальную - а(t) и нормальную - a(n).
Подробнее про них прочитай в § 1.27 (с.119). Выясни, в чём смысл нормальной и тангенциальной компонентов ускорения. Узнай, как посчитать полное ускорение, если вы знаете a(t) и a(n).
Скорости при равноускоренном движении. Когда мы движемся с ускорением скорость будет меняться как по направлению, так и по модулю. Значит будут меняться проекции скорости на оси.
Вычислить их можно по этим формулам
Два случая движения с постоянным ускорением.
Рассмотрим два случая движения тела с постоянным ускорением.
Случай 1. Свободное падение
Руфер-неудачник падает вниз без начальной скорости (не увлекайтесь руфингом!) с высоты 10 метров.
Его уравнения движения выглядят так:
Тело падает с ускорением g=9,8 м/c^2 – ускорение свободного падения, оно со знаком минус, т.к. смотрит против оси Oy, т.е. вниз. По оси Ox тело не движется.
Уравнения для скорости:
Теперь можем, например, найти время падения положив в уравнении (1) y=0. Или можем найти скорость в момент столкновения с землей, подставив это время в уравнение (3).
Случай 2. Бросок под углом к горизонту
Если камень бросить с поверхности земли, то траектория и уравнения движения выглядят так:
У нас тело стартует с высоты 1 метр, но уже с начальными скоростями, как по оси Ox (4 м/с), так и по оси Oy (3 м/c).
Уравнения для скоростей:
Видим, что и законы изменения скоростей теперь другие. Теперь мы можем найти, например, время через которое тело будет в самой высокой точке траектории, положив Vy=0, и таким образом, найти максимальную высоту подъема тела, подставив это время в (1).
Вспомните условия задачи про полет пушечного ядра. Теперь, учитывая знание про то, что это движение с постоянным ускорением, узнайте, долетит ли ядро до стены, и если долетит, то на какой высоте от земли оно в неё врежется?
Прочитай Учебник. Мы ОЧЕНЬ кратко рассказали про основные факты и основные формулы, но для полного понимания и решения задач этого недостаточно. Прочитай учебник и ответь на вопросы (ссылка (с.105))
Обязательное задание
Задание 1. (Уровень easy)
Как изменятся уравнения движения в случае свободного падения, если мы направим ось Ox под углом 45 градусов к горизонту?
Задание 2. (Уровень easy)
Мы рассмотрели, что ускорение можно раскладывать на две перпендикулярные друг другу составляющие разными способами. Можно раскладывать его по осям, а можно раскладывать его на тангенциальное и нормальное ускорение. Если тело было брошено под углом к горизонту, определите, в какой точке эти разложения на составляющие совпадают?
Задание 3. (Уровень easy)
Если тело начинало движение под углом 60 градусов к горизонту, то под каким углом оно упадет обратно на землю?
Задание 4. (Уровень easy)
Если брусок скатывается с наклонной горки, то как удобнее всего выбрать систему координат?
Задание 5. (Уровень easy)
Свободное падение. Студенты скидывают друг другу книжки с 9 на 6 этаж. Расстояние между соседними этажами 2 м. Сколько летит одна книжка?
Задание 6. (Уровень easy)
Движение под углом к горизонту. Солдаты, тренируясь в бросании гранаты, кидают её на расстояние 30 м в длину и 8 метров в высоту. Сколько времени граната находится в полете?
Задание 7. (Уровень normal)
Брошенное вертикально вверх тело на высоте 25 м побывало дважды с интервалом 4 с. Определите модуль начальной скорости тела, а также модуль и направление скорости на высоте 25 м.
Задание 8. (Уровень normal)
Камень брошен горизонтально. Через 3 секунды его скорость оказалась направленной под углом 45 градусов к горизонту. Найдите модуль начальной скорости и скорости тела спустя 3 с.
Задание 9. (Уровень HELL)
С высоты H на наклонную плоскость, образующую угол α с горизонтом, свободно падает мяч и упруго отражается с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние от места первого соударения до второго; затем от второго до третьего и т. д... Определите расстояние между первым и вторым соударениями для случая α=45 градусов и H=0,5 м.
Творческое задание. Прыжок.
Посмотри видео, как Дарья Клишина прыгает в длину. Оцени вертикальную компоненту её скорости в момент отталкивания (т.е. начальную скорость по оси Oy) и её полную начальную скорость.
Решение задач всех уровней можно найти в файлике (напишите команду /ballistika после /start)
