Последний ЕГЭ по математике неприятно удивил многих учащихся в достаточно простой задаче 14 на неравенства. Преобразование логарифмического выражения привело к кубическому неравенству, и именно это стало для многих большой проблемой.
Там, конечно, можно догадаться и должным образом перегруппировать выражение. Но именно догадаться!!
А если ученик не видит удачного разложения?
И тогда здесь ему поможет теорема о рациональных корнях. Эта теорема изучается уже в высшей школе, но ничего супернеобычного для школьника в ней нет.
Если многочлен вида
с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то их можно представить виде, xᵢ=q/aₙ где q — делитель свободного члена aₒ
Частный случай
Если многочлен вида
с целыми коэффициентами имеет целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена.
Тогда простым подбором корней мы можем понизить степень многочлена и дальше найти все его корни.
Рассмотрим это на примере реальной задачи ЕГЭ-2023.
После преобразования ученик пришёл к неравенству
Запишем список подозреваемых делителей свободного члена: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ±50, ±100. А затем проверим каждый из них, подставляя в многочлен
и сравнивая результат с нулём.
Начинаем:
Вот первый корень: -4. Дальше можно продолжить подставлять вероятные корни, но проще понизить степень многочлена. Для этого выполним деление углом
Таким образом, наше выражение принимает вид
Второй сомножитель можно представить в виде произведения, решив квадратное уравнение x²-10x+25=0. Но здесь легче выразить полный квадрат.
И окончательно запишем наше неравенство в виде
Полученное неравенство легко решить методом интервалов. Но о нём как-нибудь другой раз.
Если эта статья была вам полезна, поставьте, пожалуйста лайк. Вам нетрудно, а мне приятно и стимулирует работать для вас!
Если вы хотите и дальше читать мои математические статьи, подпишитесь на канал!
Удачи вам в повторении математики и успешной подготовки к экзаменам!
А я с удовольствием помогу вам в этом!
Ваш Виталий Самонов
#репетиторпоматематике #егэпоматематике #теоремаорациональныхкорнях #задача14егэ
