Считаем вероятности и добавляем других спикеров
Руководители одного ИТ-стартапа решили выступить на конференции и рассказать о своём проекте, чтобы получить новые инвестиции. Они выяснили, что если спикеры будут выступать в определённом порядке (Алексей → Борис → Владимир), то шансы на успех сильно вырастают. Но в конференции кроме них участвует ещё 5 человек, а организаторы не могут сказать заранее, кто за кем выступает.
Каковы у руководителей ИТ-стартапа шансы на то, что спикеры выступят в нужном порядке? То, что между ними, до или после них могут выступать другие спикеры, не влияет на успех, главное, чтобы сохранился общий порядок выступления.
Решение
Эта задача может показаться сложной из-за дополнительных спикеров, но на самом деле решается она довольно просто. Для решения нам понадобится правильный порядок выступлений, поэтому обозначим его по первым буквам их имён: А → Б → В.
Если у нас три спикера, то всё просто: порядок будет А → Б → В. Теперь добавим четвёртого, которого обозначим за х — он может выступить так:
- x → A → Б → В
- А → х → Б → В
- А → Б → х → В
- А → Б → В → х
Получается, четвёртый спикер может выступить четырьмя разными способами — это значит, что если добавим его, то у нас уже будет 4 варианта успешного выступления.
Теперь добавим пятого спикера — он может выступить на одной из 5 позиций — в начале, между каждым существующим спикером и в самом конце. Получается, пятый спикер даст нам ещё 5 вариантов.
По этой схеме, шестой, седьмой и восьмой спикер дадут нам 6, 7 и 8 новых вариантов выступлений. Получается, общее количество выступлений, при которых сохраняется выбранный порядок — 4 × 5 × 6 × 7 × 8.
Общее количество вариантов порядка выступлений восьми спикеров — это 8! , где восклицательный знак — это факториал числа, то есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8.
Чтобы найти вероятность успешного выступления, разделим число успешных выступлений на общее количество:
(4 × 5 × 6 × 7 × 8) / (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8)
Сократим общие множители и получим: 1 / (1 × 2 × 3) = ⅙
Получается, что вероятность успешного порядка выступления — ⅙ или 16%
Наблюдение
Раз у нас успешность зависит только от порядка выступления наших трёх спикеров, то давайте посчитаем вероятность правильного порядка среди трёх человек. Количество перестановок, которые можно сделать — это 3! , то есть 1 × 2 × 3 = 6. Но из них нас устраивает только один порядок, поэтому вероятность успешного выступления в этой комбинации — ⅙.
Технически этого было бы достаточно для решения, но нам нужно было убедиться, что добавление остальных участников не перевесит шансы на успешное выступление в какую-либо сторону. Поэтому мы пошли сначала по длинному пути, а потом убедились в том, что и короткое тоже работает.