Условие задачи 273:
Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой DE.
Решение задачи 273:
В главе IV §1 п.32 учебника на странице 70 написано, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
В главе IV §4 п.38 учебника на странице 81 написано, что длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Здесь же отмечается, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой. Следовательно, расстояние от точки C до прямой DE – это перпендикуляр, проведённый из C к прямой DE.
По условию задачи – CDE прямоугольный треугольник с гипотенузой CE, следовательно, угол D – прямой и перпендикуляром от вершины C до прямой DE как раз и является катет CD.
Пусть длина катета CD будет X, тогда длина гипотенузы CE будет X + 3 (раз разница между ними 3 см, значит CE на 3 см больше, чем CD). Зная, что сумма гипотенузы CE и катета CD равна 31 см, составляем уравнение.
X + (X + 3) = 31
X + X + 3 = 31
2X = 31 – 3
2X = 28
X = 28 : 2
X = 14 см – расстояние от вершины C до прямой DE.
Ответ: расстояние от вершины C до прямой DE 14 см.
Условие задачи 271:
Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
Решение задачи 271:
Обозначим точку, из которой проведены перпендикуляр и наклонная, буквой A, перпендикуляр к прямой – AB, а наклонную – AC.
Так как AB – перпендикуляр к прямой BC, ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, которая на 1 см длиннее катета AB.
Пусть длина катета AB будет X, тогда длина гипотенузы AC будет X + 1. Зная, что сумма перпендикуляра AB и наклонной AC равна 17 см, составляем уравнение.
X + (X + 1) = 17
X + X + 1 = 17
2X = 17 – 1
2X = 16
X = 16 : 2
X = 8 см – расстояние от точки A до прямой BC.
Ответ: расстояние от точки до прямой – 8 см.
