Что общего у землетрясений и кучи песка? А у дорожных пробок и колебаний биржевых курсов? Казалось бы, ничего. Но с точки зрения математики все эти явления ведут себя схоже и могут быть описаны в рамках теории самоорганизующейся критичности (СОК).
С момента своего появления более 30 лет назад, идеи СОК стали популярны и оказали значительное влияние на развитие многих областей наук. До сих пор для симуляции самоорганизующихся процессов ученые использовали дискретную модель, обладающую ограничениями. Никита Калинин, старший научный сотрудник Международной лаборатории теории игр и принятия решений, и соавторы предложили более универсальную непрерывную модель, которая может помочь совершить качественный скачок в теоретической физике и биологии развития. Исследование попало на обложку журнала PNAS.
Критические системы
Система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может вызвать цепную реакцию и привести к изменению ее поведения. Таковы, например, любые фазовые переходы: как только в воде, охлажденной до нуля градусов, появляется один центр кристаллизации, тут же замерзает целый кластер.
Существуют динамические системы, которые сами стремятся привести себя в состояние, близкое к критическому. Показательный пример — землетрясения. Если для замерзания воды необходимо подобрать определенные температуру и давление, то в случае землетрясений такие однозначные параметры отсутствуют. Основная причина явления кроется в постоянном движении тектонических плит, но в какой момент произойдет землетрясение, предсказать практически невозможно.
Многие исследователи пытались разгадать природу землетрясений. В середине XX века американские сейсмологи Гутенберг и Рихтер показали, что существует зависимость между силой и количеством землетрясений в определенном регионе. Эта зависимость описывается степенным законом: на двойной логарифмической шкале она имеет форму прямой.
Явления, которые обладают подобным признаком позднее были обнаружены в геофизике, космологии, экономике, теории управления риском и других областях. Все они могут быть описаны в рамках теории самоорганизующейся критичности (СОК).
Модель песочной кучи
Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэн и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью СОК: представьте квадратную сетку, в каждой вершине которой лежат песчинки. На сетку с определенной частотой падают новые крупинки. По определению, если в каждой вершине графа не более трёх песчинок, система находится в стабильном состоянии. Но как только в один из узлов падает четвертая песчинка, происходит обвал: песок сходит с этой вершины и перераспределяется на соседние узлы. Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние. Главная находка физиков состояла в том, что размер обвалившейся области подчиняется степенному распределению.
Модель песочной кучи (sandpile model) долгое время была простейшей моделью, описывающей СОК. При этом она показывает поведение критических систем исключительно на феноменологическом уровне. С ее помощью нельзя ни промоделировать землетрясение, ни предсказать поведение настоящей кучи песка.
«Старая песочная модель, являясь чисто комбинаторной, живет немного отдельно от большого мира математики. Наша модель — это шаг вперед, потому что она имеет все достоинства песочной модели, но при этом еще геометрическая и непрерывная, а это заметно упрощает ее использование, — объясняет автор исследования, старший научный сотрудник Международной лаборатории теории игр и принятия решений НИУ ВШЭ Никита Калинин. — Мы показали, что степенные зависимости можно получить не только в клеточном автомате, но и в непрерывной системе в области тропической геометрии, которая уже сейчас много где применяется».
Свежее решение
Новая модель получила название тропической песочной модели* (tropical sandpile model). Вместо сетки, на которой строилась классическая модель, в данном случае рассматривается тропическая кривая — плоский граф с прямолинейными ребрами — заключенная в квадрат. Кривая делит квадрат на многоугольные области, в которых случайным образом выбирается последовательность точек. При появлении каждой новой точки, тропическая кривая пытается через нее «пройти»: многоугольная область, куда попала точка, стягивается внутрь посредством параллельного переноса сторон. Как только одно из ребер натыкается на точку, процесс останавливается. Затем добавляется следующая точка и все повторяется. При этом предыдущая точка может снова оказаться не на кривой, и система начнет движение в ее сторону.
Процесс стягивания является предельным вариантом добавления песчинки в песочную кучу. Размеру лавин в новой модели соответствует площадь, которую заметают стягивающиеся области в процессе, инициированном добавлением очередной случайно выбранной точки.
Ученые надеются, что с помощью их модели удастся прояснить связь между разными явлениями, в которых проявляются свойства самоорганизованной критичности.
«Сейчас мы видим, что разные явления с точки зрения математики в чем-то схожи. Тропическая геометрия уже нашла применение и в теории струн, и в экономике, и в биологии развития. Ценность нашей работы именно в нахождении связей в совершенно неожиданных местах. А это значит, что методы одной области могут быть применены в другой, нужно лишь сделать следующий шаг», — отмечает Никита Калинин.
IQ
* На видео: выпуклая область с квадратной сеткой. Во всех вершинах находится по три песчинки, по каждому клику мышки добавляется ещё одна песчинка. После каждого клика происходит релаксация (обвал) системы. Красным цветом отмечены вершины с четырьмя песчинками, белым — тремя, черным — меньше трех.
Затем картинка масштабируется: берётся сетка с меньшим шагом, но относительные положения точек, куда добавляются песчинки, не меняются. После релаксации получается та же картинка. Во второй части видео производят подобную симуляцию для круглой области.
Автор текста: Ксения Мальченко
