Статья под номером 90 на этом канале начинает короткую серию о прямом угле, его особенностях и самом главном его секрете.
Задал я как-то ученикам "глупый" вопрос: "Объясните мне почему прямой угол, он же 90°, он же π/2, такой особенный?" После некоторой дискуссии удалось выделить такие ответы:
- Прямой угол тесно связан с понятиями "вертикаль" и "горизонталь", естественными в мире, где существенную роль играет гравитация. С горизонтальной поверхности (перпендикулярной вертикали) ничего не соскальзывает и не скатывается. Наконец, ребята совершенно справедливо связали это с устойчивостью конструкций.
- Прямоугольники и параллелепипеды позволяет просто компактно и достаточно экономно упаковывать на плоскости и пространстве однотипные объекты. Тут в качестве аргументов выдвигается мебель
- Под прямым углом пересекаются координатные оси и в двух и трёх измерениях.
- Теорема Пифагора универсальна именно для прямоугольных треугольников.
- Если освещать площадку под прямым углом к ней (вдоль нормали), то поток света окажется больше, чем для любого другого угла.
- Проекция (условно говоря, тень) всякого отрезка на какую-либо прямую обращается в ноль, если угол между ними прямой.
- Только для перпендикулярных прямых вертикальные и смежные углы, ими образуемые, равны между собой.
- Расстояние от всякой точки до какой-либо прямой минимально в направлении, перпендикулярном к этой прямой.
- Всякая касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания.
- Всякая ось симметрии всякой прямой перпендикулярна ей.
- Биссектриса развёрнутого угла перпендикулярна его сторонам.
Видите ли вы среди перечисленных одно свойство, про которое можно было бы сказать вольным парафразом Толкиена: "Одно, чтоб править всеми, Оно главнее всех, Оно соберёт всех вместе, И заключит в себе." (В оригинале: "И заключит во тьме", но так как я убеждён, что знания — это свет, я решил от тьмы избавиться).
Что значит объяснить явление? Дать ему правильное название? Отнести к тому или иному разделу известной классификации? Вывести из общих принципов или наоборот, свести к частному случаю каких-то общих закономерностей? Всё это годится на роль объяснения и повсеместно используется, однако, не все объяснения равноценны. Мне доводилось переживать ощущение восторга понимания, близкого к озарению. Это пьянящее ощущение заставляет меня заниматься сложными математическими разделами, даже сейчас, когда для профессиональной деятельности мне это уже и не нужно.
В какой-то момент я почувствовал, что для меня найти объяснение — значит увидеть связь между явлением и каким-либо таким свойством нашего мира, в котором может убедиться даже шестилетний малыш.
Начало "Начал"
Здесь имеются в виде "Начала" Евклида — одна из самых читаемых книг в истории. В самом начале этого труда, в книге первой, в первой главе, прямой угол определяется под номером 10:
Когда же прямая, восстановленная на <другой> прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
Кроме того, среди знаменитых пяти евклидовых постулатов, четвёртым числится такой:
[Предположим] что все прямые углы равны между собой.
Получается, в качестве основного свойства прямого угла, Евклид приводит свойство, которое мы уже упомянули под номером 7. Но он на этом не останавливается, а считает необходимым предположить ещё, что прямые углы получаются одинаковыми при любых обстоятельствах. И это не столько свойство углов, сколько свойство прямых.
О симметрии
В математике есть ряд концепций, которые, с одной стороны, понятны и доступны кому угодно, а с другой, ведут к очень глубоким и общим выводам, правда, совсем не очевидными, и порой, очень сложными путями. Одна из таких концепций — симметрия. В школе мы знакомимся с этим понятием (зеркальная, центральная и т.д.), но почти их не используем, разве что, на олимпиадах. На первых двух курсах физического факультета НГУ, где я учился, всё чаще и чаще стала появляться фраза: "из соображений симметрии", позволяющая легко решить сложную задачу. И, вдруг, на третьем курсе появилась теория групп, и все прочие дисциплины: теория поля, уравнения математической физики, аналитическая механика и квантовая механика, перешли на язык симметрии и групп. Он позволил связать воедино всё, что изучалось прежде, и говоря на этом языке, преподаватели могли выражать такие вещи, от которых у меня, как у студента, появлялись мурашки восторга. Симметрия позволила увидеть и понять теорему Стокса, а вместе с ней "устройство" законов Кулона и Ньютона, знакомых со школы; теорема Эмми Нёттер связала симметрии с законами сохранения в физике; группы симметрий сферических функций объяснили периодический закон Д. И. Менделеева и устройство таблицы элементов; другие группы привели в порядок "зоопарк" элементарных частиц; группы, образуемые движениями прямой, круга и плоскости привели к пониманию что такое число, а Феликс Кляйн свёл само понятие геометрии к группам симметрии, которые образуют преобразования того или иного пространства ...
Симметрия, конечно же, не единственная фундаментальная концепция, но она такая понятная и такая красивая! Поэтому из множества замечательных свойств прямого угла, о которых мы говорили, я выберу в качестве базового одно самое простое и универсальное:
Всякая ось симметрии всякой прямой перпендикулярна этой прямой (образует прямой угол).
Симметрия — это свойство объекта сохранять какие-то свои характеристики при некотором преобразовании. Среди всевозможных преобразований в метрической геометрии выделяются изометрии: преобразования, сохраняющие все расстояния и углы. Существует три вида изометрии: сдвиг, поворот и отражение. Первые два, не меняющие ориентации фигур, называются движениями.
Симметрии прямой
Прямая имеет симметрии связанные со всеми изометриями. Она совпадает сама с собой и при сдвиге вдоль неё (трансляционая симметрия), и при повороте вокруг произвольной точки на развернутый угол (вращательная симметрия), и при отражении (зеркальная симметрия). При сдвиге ни одна точка не остаётся на месте. При повороте на плоскости, неподвижной остаётся одна точка, а в пространстве — прямая, называемые осью вращения. Неподвижные точки при отражении принадлежат прямой (оси отражения) на плоскости, или плоскости отражения в пространстве.
Таким образом, свойство: "всякая ось симметрии всякой прямой перпендикулярна ей" включает два случая: ось вращения и ось отражения.
Вот почему мне нравится это свойство: нам неважно какая это прямая, неважно в пространстве какой размерности мы её рассматриваем, неважно через какую точку на прямой проходит ось, угол между прямой и её осью симметрии всегда один и тот же: прямой.
От определения прямого угла через симметрию легко перейти современному выражению мысли Евклида: прямой угол равен своему смежному, и все прямые углы равны между собой.
Действительно, из неподвижности оси отражения и совпадения прямой при отражении, незамедлительно следует угол между прямой и осью симметрии и смежный ему должны быть равны, поскольку лучи, образующие оба эти угла при этом преобразовании совпадают с самими собой. Это позволяет нам сказать, что ось симметрии прямой является биссектрисой развёрнутого угла с вершиной в точке их пересечения, а также, что для прямой и любой её оси симметрии смежные и вертикальные углы равны между собой. Так как в сумме они дают полный оборот (2π или 360°), то каждый из них равен четверти оборота (π/2 или 90°). Это почти тривиальное заключение, подводит нас к другой важной симметрии: две перпендикулярные прямые имеют кроме зеркальной симметрии, вращательную симметрию четвёртого порядка.
Такое свойство прямого угла позволяет очень точно построить прямой угол с помощью приёмов оригами. Для этого достаточно сложить вдвое лист бумаги, согнув его в любом направлении, а затем сложить его ещё раз так, чтобы первая складка наложилась сама на себя.
Складывание листа вдвое это и есть преобразование отражения для одной полуплоскости, и мы получаем множество неподвижных точек этого преобразования в форме складки. Вторая складка делит развёрнутый угол пополам и какой бы ни была исходная форма листа, две складки образуют идеальный прямой угол. Так когда-то появилась τό τετράδιο — сложенный вчетверо лист, то есть, тетрадь.
Теперь мы можем понять почему задачу упаковки пространства мы предпочитаем решать именно с помощью прямых углов.
Вращательная симметрия четвёртого порядка приводит к тому, что многоугольник, образуемый отрезками, подходящими друг к другу под прямыми углами, будет иметь четыре вершины, а вращательная симметрия второго порядка, присущая прямой, гарантирует попарную параллельность сторон многоугольника. Попарная параллельность это большой плюс при упаковке, так как добавление одного прямоугольного объекта к другому с любой стороны не изменяет основных направлений сторон получившегося многоугольника. Более того, все внешние углы будут равны или кратны внутренним и упаковку можно будет продолжить. Даже если прямоугольники будут различными, все они сохранят ориентировку сторон и равенство углов.
Замощения любыми другими фигурами приводят к большему разнообразию углов и ориентаций.
Эти нехитрые рассуждения не являются строгими доказательствами (выполнить их строго несложно), но они показывают, как одно цепляется за другое и как одни свойства вытекают из других.
В следующий раз мы ещё немного обсудим симметрию прямой и займёмся расстояниями между точками и прямыми.
Ещё о симметриях прямой:
