Можно ли прийти к тригонометрии и теореме Пифагора, вовсе миновав какие-либо геометрические построения?
На геометрии свет клином не сошёлся. В математике полно и других полезных и интересных разделов. Например, математическая физика, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория гильбертовых пространств...
Когда мы дëргаем гитарную струну или играем на трубе, пускаем волны в прямоугольном бассейне, раскладываем сигнал в ряд Фурье, сжимаем картинку или музыку в форматах jpeg и mp3, то ни о какой теореме Пифагора или о прямоугольных треугольниках речи нет, зато гармонических функций сколько угодно! Откуда же они там берутся?
Из достаточно простого дифференциального уравнения и следствий из него.
Мы знаем, что говоря о гладкой функции, можно рассуждать о её производных. Иногда функции удобно определяются не через какие-то таблицы или геометрические построения, а именно через связь их производными, а некоторые функции, только так и определяются. Так, например, экспоненциальная функция проще всего определяется, как решение дифференциального уравнения:
Оно описывает широкий класс природных процессов, в которых скорость изменения некоторой величины, пропорциональна самой этой величине. К этому классу относятся и растущие сложные проценты в банке, и цепная реакция, при положительном коэффициенте пропорциональности; а также остывание нагретого тела, погружённого в нетекучую сплошную среду, вязкое затухание движения, при отрицательном коэффициенте пропорциональности. Решение уравнения в общем виде такое:
и называется экспоненциальной функцией. Чтобы узнать величину коэффициента C нужно ещё определить какие-либо начальные условия, например, значение f(x) для какого-либо конкретного значения x.
В свою очередь, гармонические функции решают такое уравнение:
которое можно переписать так:
Так становится видно, что решением исходного уравнения будет пара связанных друг с другом функций. Ничего не зная об этих функциях, а только глядя на эти уравнения, уже можно указать на многие их свойства.
Например, предположив, что функция g в некоторой точке равна 0, можно показать, что либо обе эти функции всюду равны нулю, либо они обе имеют бесконечное но счётное число нулей, максимумов и минимумов. А используя теорию собственных функций, можно доказать, что расстояние между всеми нулями и экстремумами этих функций должно быть одинаковым, а значит, эти функции периодичны, то есть существует такое число T, что f(x + nT) = f(x) для всех целых значений числа n. Более того, перейдя от производных к интегрированию, можно показать что интеграл произведения функций f(n/T x) и f(m/T x) для от 0 до T равен нулю при различных n и m. Это обстоятельство позволяет раскладывать любые периодические функции в ряды Фурье, используя интегрирование, как скалярное произведение в гильбертовом пространстве.
К уравнению (2) сводится широкий класс краевых задач (задачи Штурма-Лиувилля с оператором Лапласа в прямоугольных координатах), описывающих, электростатическое и гравитационное поля (по Ньютону), натяжение мембраны, волны на струне и в пространстве, энергетические уровни электрона в квадратичной потенциальной яме ...
Если мы подставим в уравнения (3) решения в форме многочленов (при k = 1), то получим представления этих функций в рядах:
Такие представления, вместе с периодичностью, позволяют построить таблицу значений этих функций на всей области их определения.
Наконец, глядя на уравнения (3) и сравнивая их с уравнением (1) можно получить глубокую связь между экспоненциальной функцией и гармоническими:
Давайте, наконец, рассмотрим такое выражение:
Если мы вычислим производную от него, то получим
Нулевая производная говорит о том, что это выражение константа. Ну, а если честно подставить в f(x)² + g(x)² выражение этих функций через экспоненту (в частном случае, при C = 1), то получится вот что:
* * *
Ну что, пора вернуться к треугольникам:
Поскольку отношения сторон в прямоугольном треугольнике подчиняются уравнениям (3), то это и есть наши гармонические функции f и g. Можно назвать их красивыми именами: синус и косинус. А полученная нами "тригонометрическая единица" незамедлительно приводит нас к теореме Пифагора.
Как видите, то что тригонометрические функции являются гармоническими, имеет множество приложений в различных разделах математики, выходящих далеко за пределы геометрии.