Ключевые слова
Гидравлический расчёт, сложные гидравлические цепи, система нелинейных уравнений, система линейных уравнений, линейные и нелинейные сопротивления .
Введение
.Данная методика была разработана в 1971 году в результате успешной попытки организовать гидравлические расчёты на "электрическом столе" с линейными омическими резисторами. Вначале этот стол был использован для расчёта небольших тепловых схем замещения обмотки ротора в турбогенераторе. Как известно, для описания тепловых схем используется система линейных уравнений, а для гидравлических схем-нелинейных уравнений (обычно 2-ой степени). Получить квадратичную зависимость падения напряжения U на резисторе R от величины тока I (U=I^2*R) многие пытались путём использования каких-то автоматов,регулирующих величину сопротивления R=f(I), либо подбором ламп накаливания с похожими нелинейными характеристиками. Однако, всё это было обречено на провал из-за сложности и ненадёжности работы с этими устройствами. Оставалось либо штурмовать эту задачу с помощью классической математики (как правило, ньютоновские итерационные методы), что требовало соответствующих знаний и специальной подготовки, или путём разработки специальных инженерных методик, позволяющих решать (в ручном режиме) ряд несложных гидравлических схем. Это были два основных направления, но дополнительно в начале 1970-х годов появились две разработки итерационных методов (л.1 и л.2), позволяющих выполнять гидравлические расчёты на "электрическом столе" с линейными омическими резисторами. Из этих двух методик практическое развитие (уже на современных ЭВМ) получила только одна, описание которой посвящена эта статья.
Краткая история создания данной методики
С 1969 года я начал раздумывать над тем каким образом можно заменить квадратное уравнение гидравлики dН=Ао*q^2 (1) на электрический линейный аналог: dU=I*R.
где: Ао - гидравлическое сопротивление участка, dН - падение напора на сопротивлении Ao, q- расход газа через этот участок.
И естественно первое, что многим могло придти в голову- это переписать уравнение dН=Ао*q^2 как dН=Ао*q*q или dН=АL*q (2)
где: АL - линейное сопротивление участка равное АL=Ао*q. (3) Но тогда в уравнении (2) появляются сразу две неизвестные величины-линейное сопротивление АL и расход q. С другой стороны ценность этой замены состоит в том, что оказывается можно любую решённую гидравлическую схему замещения (когда известны все расходы q, проходящие через сопротивления Ao ) заменить на такую же схему, но с линейными сопротивлениями AL. Значит в принципе такая замена возможна! Это уже давало надежду каким-то образом решить данную задачу. Я бы так и начал действовать, единственное, что меня смущало- это необходимость для замеры тока (I) в ветви обрывать эту цепь для включения амперметра. Гораздо удобнее было бы замерить падение напряжения dU и через него как-то вычислить величину линейного сопротивления АL.
Тогда же выяснилось, что вывести формулу расчёта линейного сопротивления АL можно, если составить систему из 2-х логически связанных уравнений, которые объединяют постановку задачи и способ её решения:
Из системы уравнений (4) путём несложных преобразований можно получить 2 формулы для расчёта линейного сопротивления АL:
Формулы для расчёта линейных сопротивлений (3) и (5) были выведены и проверены для просчитанной схемы, в которой известны все расходы q и падения напоров dН. Вопрос о том можно ли использовать их в качестве итерационных формул и как они будут работать при произвольно заданных начальных значениях расхода q и соответственно падения напора dН оставался открытым.
Ответ на эти вопросы для формулы (5) был получен в процессе работы на электрическом столе, где до 1972 года формула (5) многократно проверялась на этом столе с пересчётом (между итерациями) вручную линейных сопротивлений AL, при этом начальный расход для всех ветвей схемы брали: q=1, получалось согласно уравнения (3), что AL=Ao (это экономило время на ручной пересчёт). Результат проверки (вопреки многим сомнениям) был великолепный. Всего за 4-5 итераций получался конечный правильный результат. Формулу (5) можно использовать в качестве итерационной формулы!
Ответ на вопрос можно ли применять формулу (3) качестве итерационной формулы был отложен до 1972 года, когда в нашей организации появилась первая ЭВМ - Минск-32. Она занимала большую комнату на 1-ом этаже и произвела целую революцию во всех без исключения инженерных и технологических расчётах. Электрический стол получил отставку и был отправлен на склад, а для гидравлических расчётов в отделе инженерных расчётов был написана программа (Шифрин В.Л.) в которой в качестве итерационной была использована формула (5). Правда, по моему совету ( я пожалел ЭВМ-зачем ей мучиться считать по формуле (5) когда есть более простая формула (3)). Результат этой пробы был печальный- процесс расчёта зациклился уже после 2-ой итерации! Мне пришлось извиняться и просить заменить формулу (3) на (5).Зато я стал постепенно понимать как вообще работает формула (5) и в чём принципиальная разница между этими двумя формулами.
Дальнейшее развитие применения данной методики в гидравлических расчётах
Время шло и с приходом современных ЭВМ программа гидравлического расчёта превратилась в теплогидравлическую. Теперь можно было не только рассчитывать величину расходов газа (воды) во всех ветвях сложной схемы, но и определять температуру среды. Программа расчёта не знает ограничений, от которых страдали многие разработки специальных инженерных методик: нельзя считать объёмные или кольцевые схемы, нельзя включать регуляторы расхода, давления, не учитывалась зависимость параметров среды (плотность и кинематическая вязкость) от температуры и давления, любое резкое изменения в величине сопротивления или напора приводило к сбою итерационного процесса. Многое добавилось и поменялось в программе расчёта, единственное, что осталось без изменения это 2 формулы итерационного процесса:
- формула (5) - (для показателя степени n=2)
- формула (7) - (для показателя степени n в диапазоне: 1<n<2)
Вывод итерационной формулы (7)
Формула (7) для расчёта линейного сопротивления АL в сложных гидравлических цепях выводится аналогично формуле (5) из системы уравнений (4) в которой квадратичное уравнение (1) записывается в более общем общем виде ( степень 2 заменяется на степень n).
Из системы уравнений (6) путём несложных преобразований можно получить 2 формулы для расчёта линейного сопротивления АL:
Примеры расчёта
На рис.1 показана схема замещения вентиляционной системы гидрогенератора. Расчётные величины расходов q1-q8 указаны для схемы без регуляторов расхода воздуха и в таблице 1. Там же для сравнения приведён 2-ой вариант расчёта для случая установки в схему 2-х регуляторов расхода воздуха ( в ветви №1 и №6). Дополнительно изменены показатели степеней n=2 на различные значения (см.таб.1).
Рис.1
Выводы
- Методика расчёта сложных гидравлических схем по итерационным формулам (5) и (7) позволяет переводить систему нелинейных уравнений n-ой степени в линейную систему, которая обеспечивает стабильно быстрый процесс расчёта и правильные результаты.
- Данная методика расчёта не имеет ограничений по сложности гидравлических систем, допускает включение регуляторов расхода и давления, при одновременном пересчёте теплофизических свойств среды в зависимости от местных значений температуры и давления.
- Допускается задание зависимостей величины коэффициентов трения, сопротивлений или напорных элементов от местных расходов в табличном виде. Это избавит от необходимости предоставлять результаты опытов на моделях в виде сложных формул.
- Данная методика гидравлического расчёта основанная на простых физических принципах с простым математическим аппаратом, решает все задачи, которые ранее были доступны только очень дорогим отечественным и зарубежным программам. Рекомендуется для практического использования всем кто занимается изучением и освоением гидравлических расчётов.
Литература
- Аврух В.Ю., Дугинов Л.А., Карпушина И.Г., Шифрин В.Л. «Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов» - «Электротехника», 1975, №12.
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
- Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1992.
