Рассмотрим процесс туннелирования частиц под несколько иным углом зрения. Пару недель назад совершенно неожиданно обнаружилась одна интересная фича, потребовавшая дополнения статьи «Квантовое метро» соображениями, касающимися самой частицы, просачивающейся сквозь потенциальный барьер.
Возник вопрос: ну, хорошо, наблюдаемая частица благополучно проскользнула через ближнюю к ней стенку потенциального барьера и продолжила свое перемещение уже внутри него. А не изменилась ли сама частица по ходу просачивания сквозь границу раздела? Это типичный пример «дурацкого» вопроса, что называется ни к селу, ни к городу, ибо с какого перепуга ей изменяться? Очевидно же, что ответ может быть только таким: частица во всех отношениях осталась той же самой, разве что в другой среде изменилась скорость ее перемещения и все. Однако уже сама возможность изменения скорости заставляет насторожиться, ведь изменившейся на величину Δv скорости, согласно СТО, соответствует изменение массы частицы
на величину Δμ.
В связи с этим отметим следующее: поскольку скорость перемещения частицы конечна, частица проходит линию раздела не мгновенно, а проникает внутрь барьера постепенно – частями, если говорить об изображающих их площадях. При наложении этих частей на область, совместно занятую барьером и частицей, с последней происходят довольно интересные вещи.
Итак, пусть в начальный момент времени t = t0 частица массой μ1, перемещаясь со скоростью v1, достигла ближней к ней стенки прямоугольного потенциального барьера. И произошло это событие в один из тех моментов ее циклической эволюции, когда функция μ1 = f(t), описывающая эту эволюцию, принимает какое-либо значение, не совпадающее ни с одним из ее критических значений. Если указанное условие соблюдено, то значит частица в этот момент времени находилась в состоянии недоступности для взаимодействия с чем бы то ни было. Происходит абсолютно неупругий удар и поэтому, продолжая свое движение вперед, частица беспрепятственно проникает внутрь барьера (статья «Бильярд по пятницам») и к моменту времени t = t1 проходит расстояние s1:
Здесь в качестве интервала времени между точками отслеживания текущего состояния частицы выбран промежуток времени Δt, разделяющий соседние критические значения функции μ1 = f(t), равный четверти периода изменения массы частицы T (μ10 ‑ среднее значение массы, представляющее собой постоянную величину, доступную измерению и используемую в практической деятельности; h– постоянная Планка):
Таким образом, в данный момент времени «просочившаяся» через границу раздела частица перекрывает некоторую область внутри барьера, имеющую форму сегмента круга радиусом OA = R =μ10, который служит геометрическим образом этой частицы (о геометрическом моделировании частиц в статьях цикла «Братство кольца.*»).
Введем следующие буквенные обозначения: длина дуги сегмента ADB
равна <a>; длина хорды AB, на которую опирается эта дуга, равна <c>; высота сегмента CD равна <d>; и тогда длина отрезка OC равна b = R – d.
Исходя из самых общих соображений, касающихся существования множества объектов во времени и в пространстве, можно говорить о справедливости утверждения о том, что два объекта не могут занимать одно и то же место в пространстве в один и тот же момент времени. И поэтому в области перекрытия частицы и барьера начинает формироваться «новый» объединяющий их объект, масса которого складывается из массы перекрытого сегмента барьера и массы равного ему по площади перекрывающего сегмента частицы.
Говоря о массе частицы, будем иметь в виду ее соответствие в модельном представлении площади фигуры изображающей эту частицу. Утверждение об этом находит свое оправдание в следующем обстоятельстве, непосредственно связанном с ролью массы в модифицированном мире Калуцы (статьи «Масса Часть6. Пятое измерение» и «Масса Часть7. Ось координат»). Исходя из того, что масса объекта представима в виде некой окружности радиусом <Rμ> и длиной <τ>, связанной с длиной волны Комптона данной частицы <λc>, можно показать, что масса частицы <μ> прямо пропорциональна квадратному корню из площади <Sμ> круга, ограниченного этой окружностью
(k– гравитационная постоянная Эйнштейна; n = 1, 2, 3, …):
Речь идет о той самой окружности, ортогональной временной и пространственной осям, в которую свернута пятая координата мира Калуцы (массовая «ось»). Подстановка в формулу для <τ> выражения для <λc> позволяет увидеть, что площадь этой окружности равна:
Одним словом, предложение сопоставить массе частицы, в используемой здесь модели, площадь ее геометрического референта (круга) не лишено оснований и потому допустимо. Тогда, говоря на «языке площадей» геометрических образов частиц, площади перекрывающихся областей в форме сегментов складываются, формируя круг соответствующего радиуса, изображающий «новую» частицу. Подставим вместо введенных выше буквенных параметров рассматриваемых геометрических фигур какие-нибудь условные числовые значения, чтобы отследить характер изменения площадей.
Для вычисления площади сегмента существуют несколько формул. Воспользуемся, например, формулой Гюйгенса, найдя предварительно длину дуги сегмента ADB, обозначенную буквой <a>:
Итак, пусть R0 = 4 (площадь такого круга S0 = 50), h1 = 2 (при Δt = 1 и v = 2),
b = 2, c = 7 и a = 8. Тогда площадь сегмента S(ABCD) оказывается равной 12.8, а сумма площадей сегментов перекрытия равна 25.6. Такую площадь S1 имеет круг, радиус которого равен R1 = 2.9, то есть на данный момент времени масса объекта формирующегося на замену исходному объекту, соответствует площади круга, радиус которого равен R1 < R0.
По мере дальнейшего проникновения в глубину «чужой территории», изменение площади круга, изображающего формирующуюся частицу, продолжается. Еще через одну четверть периода изменения массы частицы, то есть к моменту времени t = T/2 площадь сегмента S(ABCD) будет равна площади половины исходного круга 0.5·S0 = 25, сумма площадей сегментов перекрытия совпадет с площадью исходного круга S2 = S0 и поэтому R2 = R0 = 4.
К моменту времени t= 3T/4 площадь сегмента S2 увеличится на 0.5·(S0 – S1) и станет равной S3 = 62.2. Круг такой площади имеет радиус R3 = 4.4. И наконец, когда частица полностью пересечет границу барьера, S3 увеличится на 0.5·S1 и площадь окончательно сформировавшейся фигуры (круга изменившихся размеров) примет значение S4 = 75, а радиус круга этой площади будет равен R4 = 4.9. Таким образом, движение внутри потенциального барьера продолжит частица, масса которой примерно в 1.2 раза больше первоначальной массы туннелировавшей частицы.
Одним словом, оказывается, что масса испытавшей туннелирование частицы изменяется. Так масса свободно движущейся частицы, например, электрона, одна, а масса электрона, перемещающегося в периодическом поле внутри кристалла другая. Эту другую массу (m*), как известно, называют эффективной массой, введение которой всегда воспринималось подавляющим большинством физиков всего лишь необязательным, но удобным математическим трюком. Формально два выражения для энергии свободного электрона и энергии электрона внутри кристалла становятся абсолютно одинаковыми, если в формуле для ускорения электрона в таком поле отождествить обратную второй производной энергии частицы по волновому вектору величину с некой величиной m*, размерность которой совпадает с размерностью массы:
Нельзя не согласиться с тем, что вообще-то считать какую-либо физическую величину массой только потому, что она имеет размерность массы, выглядит не вполне обоснованным шагом. Его не может оправдать даже бесспорное удобство использования введенной величины. С каких это пор реальность существования той или иной физической величины определяется «удобством» ее использования? Что ж, подобные претензии вполне справедливы. Видимо, поэтому физики и поспешили откреститься от реальности такой величины, как эффективная масса m*, тем более что она может быть, как положительной, так и отрицательной, что считается совершенно неприемлемым среди ученых дорожащих своей репутацией. Так что обычно говорят, будто бы эффективная масса в отличие от обычной массы не отражает ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она представляет собой лишь коэффициент в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решеткой. Одним словом, эта величина является фиктивной.
Однако наглядная геометрическая интерпретация явления туннелирования, осуществленная в данной публикации, открывает перспективу возможного избавления понятия эффективной массы от налета фиктивности. Надо лишь признать, что туннельный эффект имеет для частицы реальное «побочное действие»: ее проникновение через границу раздела сред (в частности, вакуума и кристалла) вызывает действительное изменение массы частицы. Например, эффективная масса электрона может быть, как больше, так и меньше массы свободного электрона, обычно находясь в диапазоне от 0,01 до 10 масс свободного электрона. Как видно из приведенных ниже фрагментов таблиц физических величин, эффективная масса электронов внутри металлов увеличивается, а в полупроводниках заметно уменьшается.
PS. Любопытно было бы выяснить, что произойдет, если на месте электрона «у барьера» окажется позитрон или фотон, геометрическими референтами которых в рамках предлагаемой модели служат круги с условно отрицательной и нулевой площадями соответственно.