В последние дни уходящего года в Дзене появились сразу несколько публикаций об одном из самых невероятных эффектов квантовой механики – туннелировании частиц. Добавлю и свои «пять копеек» в обсуждение этого вопроса.
Начну немного издалека. Должен признаться, что я давний и преданный поклонник кинематографа. Утренние (специально для малышни) сеансы я посещал самостоятельно, благо клуб УООП, в котором крутили кино, располагался всего в одном квартале от нашего двухэтажного 16-ти квартирного дома. Билет стоил буквально копейки, так что можно было пересматривать понравившиеся фильмы по нескольку раз, иногда сразу же на следующем сеансе, а на вечерние показы меня брали с собой уже взрослые. Не возьмусь даже перечислить названия увиденных, за те полтора-два года перед школой, фильмов, далеко не все из которых были доступны моему пониманию, да и память уже не та, но некоторые из них застряли в ней почему-то навсегда. Например, такой ничем особо не примечательный, фильм, правда, с довольно интригующим названием, «Человек, проходящий сквозь стену». Как выяснилось впоследствии, он был снят еще в самом начале 60-х гг. по одноименному рассказу французского писателя Марселя Эме. Главному герою упомянутого произведения, с очень труднопроизносимым именем (или фамилией) Дютийель, жители Парижа даже соорудили весьма занятный памятник. Одним словом, думаю, что теперь мой интерес к эффекту туннелирования понятен :).
Сразу разочарую и успокою тех, кто видел этот фильм, а может быть, даже читал рассказ, и всю свою жизнь ищет возможность обрести такую же необычную способность, как у его главного персонажа. Не переживайте – подобно Дютийелю, в стене не застрянете, поскольку макроскопические объекты слишком сложны и массивны для взаимопроникновения, и у вас в любом случае ничего не получится, а вот, что касается объектов микромира, то с ними все обстоит гораздо интереснее.
В физике существует понятие потенциального барьера, который представляет собой ограниченную область пространства, чаще всего, конечной ширины (a) и высоты (U0), внутри которой потенциальная энергия взаимодействия движущегося объекта с некоторым силовым полем равна величине U0. Вне этой области потенциальная энергия равна нулю. Графически подобный потенциальный барьер имеет форму прямоугольной ступеньки.
Классическая частица вещества с энергией E < U0, движущаяся слева направо не сможет преодолеть этот барьер ни при каких обстоятельствах, и однозначно отражается от него. Однако в квантовой механике считается, что существует определенная отличная от нуля вероятность все же обнаружить эту частицу в классически запрещенной области и даже за барьером. Причем частица не «перепрыгивает» барьер, в силу каких-либо неизвестных или известных возможных причин, а именно «проникает» сквозь него. Такое вот квантовое «метро». Это интересное явление, которого вообще-то не должно быть, называется туннельным эффектом, и оно наблюдается экспериментально.
Коэффициент прохождения частицы вещества сквозь барьер равен отношению вероятности обнаружения частицы за барьером в точке x = x0 + a
к вероятности ее обнаружения перед барьером в точке x = x0. В квантовой механике указанные вероятности пропорциональны квадрату модуля волновой функции частицы, и их отношение равно (μ – масса частицы, h – постоянная Планка):
С математикой здесь все более или менее ясно, чего нельзя сказать о том, какая реальность «прячется» за этой формулой. Попробуем в ходе поиска указанного коэффициента другим способом, не решая уравнение Шредингера, ликвидировать обнаруженный пробел в понимании явления. Предположим, что волновая функция частицы вещества, движущейся к барьеру в области x < x0, представляет собой плоскую волну де Бройля. Будем также исходить из предположения о гармоническом характере изменения тяжести материальных объектов («Масса Часть2. Переменная величина или Двуликий Янус»), и связанной с последним обстоятельством дискретностью их взаимодействия.
Движущаяся частица и барьер (препятствие на ее пути) могут сосуществовать, а значит и взаимодействовать, только в те моменты времени, когда текущие значения их масс проходят через свои критические значения. На графике функции μ(t) этим значениям соответствуют точки перегиба и точки поворота. Поскольку в лабораторной системе отсчета барьер неподвижен, допустимо считать его массу постоянной и равной своему равновесному (среднему) значению μ = μ0 = const. Другими словами, существование частицы относительно барьера является дискретным физическим процессом. Поэтому и взаимодействие этих объектов также носит прерывистый характер.
То есть, во все остальные моменты времени из интервалов между критическими значениями массы частица вещества может беспрепятственно проникнуть сквозь переднюю стенку барьера и оказаться внутри него. И если частице «повезет», и она успеет проскочить барьер, оставаясь в фазе недоступности для взаимодействия («приступе легкого прохождения», по терминологии Ньютона, использованной им в отношении частиц света), то у нее есть шансы быть обнаруженной в области пространства за барьером (x > a), несмотря на то, что энергии частицы недостаточно чтобы «перевалить» через барьер, ведь, по условию E < U0.
Рассмотрим принципиальную схему экспериментальной установки для наблюдения туннелирования частиц вещества.
Источник испускает частицы вещества одного сорта, то есть равновесные (или средние) значения их масс (μ0) одинаковы. Диафрагма выделяет в пучке частицы с одинаковым направлением скорости перемещения (v), а сепаратор Ламмерта – частицы с одинаковым значением ее величины. Таким образом, формируется пучок «монохроматических» частиц с одинаковыми циклическими частотами колебаний их масс:
Это выражение получено на основании соотношения между циклической частотой колебаний массы частицы (ω) и длиной псевдоволны ее тяжести (или волны де Бройля λb), которая также будет одной и той же для всех частиц «монохроматического» пучка (подробнее о волнах де Бройля в статье «Волна-призрак»):
Согласно классическому определению волны, последняя представляет собой процесс распространения фазы некоторого колебания, служащего источником или центром ее распространения. Само же колебание характеризуется периодически изменяющимся отклонением какого-либо параметра объекта-источника волны от его равновесного значения. В нашем варианте интерпретации эффекта туннелирования, таким «внутренним периодическим явлением», говоря словами де Бройля, связанным с каждым движущимся телом, оказывается изменение его массы. Масса изменяется с течением времени по гармоническому закону следующим образом (μ – отклонение величины массы от своего равновесного значения μ0; M – амплитуда изменения; ω – его частота и γ0 – начальная фаза колебания):
Это выражение является решением уравнения колебаний:
Указанное колебание массы во времени, кроме того, распространяется в пространстве в виде волны де Бройля, которую будем, таким образом, считать процессом переноса движущимся телом отклонения его массы μ от равновесного значения:
Данная функция двух переменных μ(t, x) является решением волнового уравнения:
И в таком виде напоминает волновую функцию ψ(x, t), являющуюся решением уравнения Шредингера:
Последнее обстоятельство как раз и дает формальный повод к предложенной замене волновой функции, физический смыл которой так до конца и не выяснен, функцией де Бройля, или замене математической волны вероятности обнаружения частицы, реально существующей волной переноса фазы изменения во времени ее массы.
Итак, чтобы попасть в регистрирующий прибор частице необходимо лишь каким-то образом «пробить» обе границы слоя вещества, образующего препятствие на ее пути. Проникнуть сквозь границу раздела частица способна в случае отсутствия взаимодействия между ней и веществом, образующим поверхностный слой препятствия. Это возможно в интервалы времени, на которые частица выходит из состояния физической одновременности существования с препятствием. Продолжительность такого интервала времени равна четверти периода колебаний массы частицы, за которую частица перемещается в пространстве на расстояние, равное четверти длины ее волны де Бройля.
Иначе говоря, частица вещества свободно проникнет внутрь препятствия, если расстояние от источника частиц до него не совпадет с расстоянием в точности кратным четверти длины ее волны де Бройля. По аналогичной причине целое число четвертей волн де Бройля этой частицы не должно укладываться и на ширине слоя вещества, образующего препятствие. Такие частицы как бы «не замечают» потенциальный барьер. В противном случае, когда времени для «просачивания» оказывается недостаточно, частица не сможет выйти наружу из препятствия через вторую границу слоя.
Таким образом, для обнаружения частицы за потенциальным барьером необходимо выполнение двух условий:
1) Текущая фаза волны де Бройля этой частицы в момент контакта с первой границей раздела (t=t01) не должна быть кратной π/2:
2) Такой же фаза волны де Бройля не должна быть и в момент выхода частицы из препятствия – в момент ее контакта со второй границей раздела (t=t02):
В идеальном случае, при выполнении обоих неравенств, все частицы, достигшие препятствия, пройдут сквозь него и попадут в регистрирующий прибор.
В реальности, далеко не каждая частица пучка «просачивается» сквозь барьер. Почему так происходит? Дело в том, что источник испускает частицы с разными значениями начальных фаз колебаний их масс, и ни диафрагма, ни сепаратор Ламмерта не позволяют выделить частицы с одинаковыми фазами их волн де Бройля, тем более, удовлетворяющими указанным условиям. То есть, даже в «монохроматическом», по скоростям перемещения (v) и равновесным значениям масс (μ0) частиц, пучке присутствуют частицы с самыми разными текущими значениями их массы (μ), и сквозь барьер «просачиваются» только самые «удачливые» из частиц.
Вычислим вероятность туннелирования частиц вещества сквозь барьер. Можно показать, что функция распределения частиц пучка по значениям начальных фаз колебаний их масс (γ0) не является распределением Пуассона, как можно было бы ожидать, а обладает экспоненциальным характером (α – некоторая константа, значение которой выяснится чуть позже):
Итак, найдя вид функции распределения частиц вещества по фазам, конкретизируем постановку задачи. Пусть известны расстояние до препятствия <x0>, ширина потенциального барьера <a>, равновесная масса <μ0> и скорость частиц пучка <v>. И как было заявлено несколькими абзацами выше, в дальнейших рассуждениях будем исходить из предположения о гармонической переменности массы частиц вещества.
Очевидно, что количество частиц пучка, достигших ближней к источнику границы барьера N, представляет собой сумму количества частиц, «просочившихся» сквозь барьер Ni, и количества частиц, отраженных и поглощенных препятствием Nk. Требуется определить, какую долю от общего числа частиц составляют частицы, обнаруживаемые за барьером, то есть – найти отношение Ni/ N.
Найдем интервал начальных фаз колебаний массы частиц, в котором эффект туннелирования отсутствует. От препятствия отразятся или будут им поглощены те частицы, масса которых на границах барьера принимает критические значения, например, проходит через свое среднее значение, то есть выполняется равенство μ = μ0.
Итак, если в момент времени t01 = x0/v имеет место равенство μ = μ0, то есть:
То, ограничиваясь значениями начальных фаз изменения массы частицы, попадающими в интервал 0≤γ0≤π, находим из последнего равенства, что начальная фаза в момент касания ближней к источнику границы барьера равна:
Аналогично, для момента времени достижения частицей дальней границы барьера t02 = (x0 + a)/v, получаем значение:
Таким образом, искомый интервал (γ01≤γ0≤γ02) начальных фаз колебаний массы частиц, для которых эффект туннелирования отсутствует, выражается следующим неравенством:
Воспользовавшись функцией распределения частиц по значениям начальных фаз колебаний их масс f(γ0), вычислим количество частиц, начальные фазы колебаний массы которых попадают в найденный интервал:
Приведем полученное выражение для количества отраженных и поглощенных препятствием частиц к виду:
Сравнивая его с выражением Nk/N=1-Ni/N, и полагая N=1/(1-exp(-απ)), находим вероятность туннелирования частиц вещества сквозь прямоугольный потенциальный барьер, конечной высоты:
Теперь вернемся к формуле для вычисления вероятности того же события выведенной в квантовой механике:
Будем считать, что высота потенциального барьера больше полной энергии частицы на величину, кратную ее кинетической энергии:
Тогда, подставляя выражение для разности энергий в формулу величины вероятности Kψ, находим, что коэффициент прохождения может быть записан в следующем виде:
В таком виде это выражение, с точностью до постоянного коэффициента в показателе экспоненты ( α = 2√n ), совпадает с выражением для вероятности туннелирования частиц (P) сквозь прямоугольный барьер, найденном исходя из предположения о гармонических колебаниях тяжести материальных объектов.
Выводы:
1) Обнаруженное совпадение выражений для коэффициента прохождения может служить косвенным свидетельством о том, что масса, которая всегда однозначно и безоговорочно выступала в качестве постоянной физической величины, на самом деле, величина переменная.
2) Предельно абстрактное понятие волны вероятности – совершенно излишнее паллиативное представление, предложенное М. Борном явно ad hoc, – как выяснилось в ходе рассмотрения туннельного эффекта, допускает свою равноценную замену реальной волной де Бройля μ(t, x), наделенной, в отличие от волновой функции ψ(x, t), конкретным физическим смыслом.