Привет, друзья! Сегодня разберем классическую задачу на нахождение токов в различных участках линейных электрических цепей. Соскучились по ТОЭ ? Тогда сегодня повторим базу.
Метод контурных токов — это способ сокращения размера системы уравнений, полученный при нахождении токов в различных ветвях линейной электрической цепи. В качестве исходных (главных) неизвестных величин принимаются токи в контурах электрической цепи.
Любая электрическая цепь может быть рассмотрена в качестве графа, у которого Р — рёбер (ветвей) и У — узлов. Такая цепь описывается уравнениями согласно 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
Число уравнений в такой системе равно Р, поскольку независимыми переменными являются токи ребер. Число уравнений, которые составляются по 1-му закону Кирхгофа равно (У-1), т.е. узлов в количестве на единицу меньшим количества всех узлов цепи. У нас остается Р - (У-1) = Р - У + 1 уравнений, которые мы должны составить по 2-му законам Кирхгофа. Для разрешимости системы количество неизвестных должно быть равно количеству уравнений.
Суть метода МКТ: Мы отталкиваемся от того, что бо'льшая часть токов в электрической цепи являются зависимыми. У нас есть (У-1) уравнений для узлов, когда алгебраическая сумма токов входящих и исходящих из узла равна нулю. Следовательно, (У-1) токов нашей системы зависимы. Всего у нас Р уравнений. Значит мы можем выделить Р - (У-1) = Р - У + 1 независимых токов, получив Р - У + 1 уравнений, которые дадут нам меньшую систему и её будет проще решить аналитически.
Допустим, мы имеем замкнутый контур. Представим, что в нем циркулирует какой-то виртуальный контурный ток. В таком контуре есть одинокие участки, принадлежащие ТОЛЬКО данному контуру, а также есть участки, которые еще принадлежат другим соседним контурам.
◼ Если ребро одинокое: Реальный ток этого ребра равен контурному току.
◼ Если ребро принадлежит соседним контурам: Реальный ток этого ребра равен алгебраической сумме контурных токов (учитывается направление обхода контуров). Любое ребро принадлежит ХОТЯ БЫ ОДНОМУ контуру. Поэтому любой реальный ток можно выразить через контурные токи.
Построение контуров довольно интуитивно. Но в теории есть два метода:
1. Использование плоских графов. Строится плоский граф, соответствующий электрической схеме. Граф должен лежать на плоскости без взаимных пересечений рёбер. Плоский граф разбивает плоскости на К замкнутых областей. Каждая замкнутая цепочка ребер образует контур.
2. Метод выделения максимального дерева. Опять речь про графы (деревья). Дерево есть односвязный граф, состоящий из одной части и не имеющий замкнутых контуров. Путем случайного вычеркивания ребер из нашей цепи мы можем дойти до максимального возможного дерева. Такое дерево характерно тем, что добавление к нему любого ранее исключенного ребра приводит к образованию контура.
Алгоритм выделения максимального дерева можно описать так:
◼ 1. На каждом шагу из цепи в произвольном порядке исключается одно звено;
◼ 2. Если исключение звена приводит к нарушению односвязности графа (то есть граф разбивается на две изолированных части, либо появляются «висящие» узлы), то звено возвращается в цепь;
◼ 3. Если при исключении звена граф не теряет односвязности, звено остаётся исключённым;
◼ 4. Переходим к следующему шагу.
После работы данного алгоритма получается, что число исключенных из цепи ребер равно числу независимых контуров цепи. Каждый независимый контур получается присоединением к схеме исключенного ребра.
📝 А теперь переходим к практическому примеру...
Задача
Найти все токи электрической цепи, представленной на рисунке. Все сопротивления и ЭДС даны.
Также к нашей задаче есть численное значение сопротивлений и электро-движущих сил:
Решение:
Теперь приведем теорию конкретно к нашему практическому случаю. В нашей задаче: Ребер = (Р) = 9 и Узлов = (У) = 6. Для построения системы уравнений необходимо выделить в нашей цепи Р - У + 1 = 9 - 6 + 1 = 4 независимых контура. По каждому контуру нужно составить одно уравнение согласно 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре выбираем направление обхода. Контуры нужно подбирать наиболее простым способом.
В любом контуре обязательно найдется ребро, которое входит только в этот контур и не входит ни в один другой. Т.е. контурный ток всегда совпадает с током одного из рёбер контура. В литературе часто так и обозначают контурные токи по уникальным ребрам (по крайним токам). Мы будем обозначать контурные (виртуальные) токи удвоенными нижними индексами, чтобы отличать их от обычных (реальных) токов.
Сделаем все необходимые уточнения на электронной схеме. Напишем реальный и виртуальные токи.
Направление реальных токов (зеленые стрелки) мы выбираем интуитивно произвольно. Придерживаемся правил:
1. Не может из одного узла вытекать все токи и ни одного не втекать.
2. Не может в один узел втекать все токи и ни одного не вытекать.
Если мы ошибемся с направлением какого-нибудь реального тока (зеленая стрелка), то при решении конечной системы уравнений данный ток получится со знаком минус. В этом нет ничего страшного. Это просто ошибка в направлении.
🔗 Относительно контурных токов нам нужно составить систему уравнений: 4 контурных тока = 4 уравнения. А уже потом из их конфигурации мы сможем найти 9 реальных токов, протекающих в девяти ветвях нашей исходной схемы.
1. Сначала все реальные токи в звеньях цепи мы выразим через виртуальные контурные токи:
Затем расписываем 2-й закон Кирхгофа для каждого контура (всего их четыре в нашем случае)
◼ Первый контур
◼ Второй контур
◼ Третий контур
◼ Четвертый контур
В итоге мы получаем систему уравнений, в которую можем подставить все известные сопротивления и ЭДС:
Подставляем известные величины и считаем коэффициенты перед контурными токами:
Решить данную систему уравнений можно, записав её в матричном виде и применив, например, метод Крамера:
Получается вот такая вещь: сначала мы находим виртуальные токи из небольшой системы уравнений. А потом возвращаемся к выражению реальных токов и теперь, зная виртуальные токи, просчитываем все реальные:
⚡ Если мы где-то ошиблись в направлении реального тока, расставляя стрелки (зеленые стрелки на исходном рисунке), то в конце решения мы получим знак «-» перед тем током, направление которого мы указали неправильно. В этом ничего страшного нет, нужно просто внести коррекцию.
Дополнительная информация
Данный метод можно использовать только для анализа плоских цепей.
*Плоские цепи — это электрические цепи, которые можно нарисовать на плоскости без пересекающихся проводов (плоские графы).
Литература по теме
◼ Хейт, Уильям Х. и Кеммерли, Джек Э. (1993). Инженерный анализ цепей (5-е изд.), Нью-Йорк: McGraw Hill.
◼ Нильссон, Джеймс У. и Ридель, Сьюзен А. (2002).Вводные схемы для электротехники и вычислительной техники. Нью-Джерси: Prentice Hall.
◼ Луег, Рассел Э. и Рейнхард, Эрвин А. (1972).Основы электроники для инженеров и ученых(2-е изд.). Нью-Йорк: International Textbook Company.
◼ Пакетт, Рассел Э. и Романовиц, Гарри А. (1976). Введение в электронику (2-е изд.). Сан-Франциско: John Wiley and Sons, Inc.
◼ Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — М.: Гардарики, 2002.
Ещё задачи по теме ТОЭ
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram