1. Двумерные фигуры называются равными, если они совпадают при наложении.
2. У равных треугольников периметры и площади равны.
I признак равенства треугольников
Доказательство:
Доказать равенство двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, можно с помощью метода наложения.
Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали углы А и А1. Поскольку АВ = А1В1, АС = А1С1, то вершина В совпадет с вершиной В1, а вершина С с вершиной С1. Таким образом, треугольники совпадут, а значит, треугольник АВС = А1В1С1.
II признак равенства треугольников
Доказательство:
Докажем равенство двух треугольников, у которых одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
Для доказательства второго признака равенства треугольников прибегнем, как и в первом случае, к методу наложения.
Наложим треугольники друг на друга так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, АС совместилось с А1С1, а вершины В и В1 оказались бы по одну сторону от прямой А1С1.
Это условие нужно для того, чтобы показать, что точка В есть точка В1, и она же точка пересечения прямых АВ и ВС, при этом АВ совпадает с А1В1, ВС с В1С1.
При совмещении вершины А с вершиной А1, вершины С с вершиной С1 сторона АВ наложится на луч А1В1, а сторона ВС – на луч В1С1.
Точка В есть точка пересечения АВ и ВС, а точка В1 – точка пересечения А1В1 и В1С1. Поскольку точка пересечения лучей может быть только одна, а лучи АВ и А1В1 и ВС и В1С1, как нам уже известно, наложатся друг на друга (за счет равенства углов А и С), то точка В и точка В1 есть одна и та же точка. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 при наложении совпадут, а, значит, они равны.
III Признак равенства треугольников
Доказательство:
Докажем, что если у треугольников все стороны равны, то треугольники равны.
Наложим треугольники друг на друга так, чтобы совместились вершины А и А1, В и В1, а вершины С и С1 оказались бы по разные стороны от прямой АВ.