Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале, решая математический ребус, мы пришли к одной из неразгаданных математических тайн. Речь, напомню, шла о представимости в виде рациональной дроби суммы чисел е и π.
По отдельности каждое из этих замечательных чисел является трансцендентным. В 1882 году для числа π это доказал Карл Луис Фердинанд фон Линдеман, а немного раньше Шарль Эрмит сделал аналогичный вывод и о числе е.
Таким образом, если взять алгебраическое уравнение с рациональными (Q) коэффициентами, то можно абсолютно точно утверждать, что числа π и е не являются его корнями - т.е. не являются алгебраическими числами.
Однако, если уйти от требования рациональности коэффициентов можно найти кое-что замечательное, действительно имеющее право называться полу-теоремой.
Если уравнение имеет корни π и е то его, очевидно, можно представить в виде:
Посмотрим на коэффициенты. Понятно, что при старшей степени коэффициент рациональный - 1, а вот с остальными интереснее.
Во-первых, если числа πe и π+e одновременно рациональны, то уравнение имеет все рациональные коэффициенты, а значит его корни - алгебраические числа. Это вступает в противоречие с трансцендентностью чисел π и e. Противоречие. Таким образом, хотя бы одно из чисел πe и π+e не является рациональным.
Во-вторых, можно быть уверенным, что эти сумма и (или) произведение - иррациональные числа, но ничего нельзя сказать про их трансцендентность или алгебраичность.
- Вот такая загадка рождается из рядового математического ребуса. Спасибо за внимание!
