Произведение длин сторон квадрата есть численное выражение площади квадрата, но не понятие площади.
Думаю, что изначально понятие площади возникло из опыта, как технологическое свойство ограниченной поверхности вмещать в себя предметы. Раскладывая предметы на ограниченной поверхности, человек должен был заметить, что количество предметов, которые можно разложить на этой поверхности, зависит от её размера и формы. Так у различных фигур появилось новое свойство - вместимость, которое в процессе его изучения и обобщения выродилось в понятие площади. Таким образом, очевидно, что площадь определяется лишь количеством вмещаемых предметов (например 10-ти яблокам или 30-ти сливам) и однозначно определяется количеством одинаковых предметов, которые можно разместить на ограниченной поверхности без остатка. В природе нет абсолютно одинаковых предметов, которые можно разложить на ограниченной поверхности без остатка, поэтому человек должен был придумать такой предмет. Естественно, что наиболее удобным предметом является квадрат заполняющий квадратную поверхность.
Доказательство формулы площади квадрата
Пусть площадью будет называться свойство фигуры вмещать определённое количество предметов, тогда площадь фигуры однозначно определяется количеством одинаковых предметов, которое на ней можно разместить без остатка.
Рассмотрим квадрат. Заполним этот квадрат без остатка одинаковыми квадратными предметами со стороной принятой за 1. По нашему определению площадь есть количество этих квадратных предметов т. е.
S = N = n*n = (1*n)*(1*n), но (1*n) - равно количеству отрезков вдоль каждой стороны квадрата (равных стороне квадратного предмета и принятых за единицу), т. е. равно длинные стороны квадрата, следовательно плащадь квадрата равна произведению длин его сторон.
Площадь же квадратного предмета, т. о. равна 1*1 = 1 кв.ед.
или S/N = (1*n)*(1*n)/n*n = 1*1 = 1 кв. ед. Т. е. площадь измерительного предмета равна 1 кв.ед., а площадь измеряемой фигуры - 1*N кв.ед.
Аналогично, но уже с применением принципа индукции, определяется выражение для площади прямоугольника (см. статью)
Из выражения же для площади прямоугольника, очевидно, следует выражение для площади любого треугольника и далее площади любой плоской фигуры ограниченной отрезками прямых.
Таким же способом можно определить, например, и площадь круга. Рассмотрим круг. Впишем в этот круг N - одинаковых треугольников, со сторонами r и b, где r - радиус круга. Согласно нашему определению площадь кгруга выражается количеством треугольников N, которое примерно равно L/b (где L - длина окружности) и зависит от размера треугольника, которым мы измеряем. Но измерять плащадь разными треугольниками неудобно и лучше привести эту площадь к одной системе измерения, а именно к площади единичного квадрата, т. е. определить сколько единичных квадратов содержится в этом круге. Известно, что в нашем треугольнике r*b/2 - единичных квадратов, тогда в круге их будет S = N*(r*b/2) = (L/b - delt)*(r*b/2), где delt - погрешность определения количества треугольников в выражении L/b. Если количество треугольников увеличивать до бесконечности, то погрешность delt будет стремиться к нулю и в этом случае можно записать S = (L/b - 0)*(r*b/2) = (L/b)*(r*b/2) = L*r/2 кв.ед. А если нам известно, что L = 2pi*r, то получаем S = pi*r^2 кв.ед.
Присоединяйтесь к группе в телеграм:
Для поддержки развития канала, ставьте лайки, делайте комментарии, и не забудьте подписаться.