В статье о доказательстве формулы площади квадрата,
вот ссылка на эту статью:
была доказана формула площади квадрата и далее, указывалось, что аналогично доказывается формула площади прямоугольника. Однако с площадью прямоугольника не все так просто.
Для начала рассмотрим следующий вариант доказательства:
Нам уже известно, что площадь квадрата равна произведению его сторон. Вместе с тем, площадь квадрата изображенного на рисунке будет равна сумме площадей составляющих его фигур т. е. (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2S. Раскрываю квадрат суммы, получим: a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2S, откуда S = ab. Однако это доказательство справедливо только при справедливости формулы раскрытия скобок c*(a+b) = c*a + c*b для любых действительных чисел. А любое действительное число, в общем виде, представляется бесконечной суммой:
R = a1/10^0 +a2/10^1+...+an/10^(n-1) +.. ., где a1, a2... an - натуральные числа меньшие 10.
Не представляю, как доказать формулу раскрытия скобок для таких чисел, и древнегреческие математики, скорей всего, этого знать не могли. Произведение действительных чисел, по смыслу для древних математиков могло означать только произведение длин отрезков прямых. Следовательно могло войти в обиход только, как геометрическая формула.
Теперь рассмотрим доказательство, формулы площади прямоугольника, аналогичное приведённому для квадрата:
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b. Допустим, что этот прямоугольник можно разделить на квадраты со стороной i, принятой за единицу. По нашему определению площадь фигуры S - выражается количеством одинаковых предметов, заполняющих эту фигуру без остатка, следовательно S = N = n*m, где n и m - количество квадратов вдоль сторон a и b. Но, поскольку сторона квадратов (i) принята за единицу, то S = n*m = (1*n)*(1*m) = (i*n)*(i*m) = a*b кв. ед.
Но, можно ли всякий прямоугольник разбить на одинаковые квадраты?! В самом деле, если всякий прямоугольник можно разбить на одинаковые квадраты со стороной i, принятой за единицу, то для любых чисел a и b, найдётся i = a/n = b/m, откуда a/b = n/m, где n и m - натуральные числа. Однако если a и b - любые действительные числа, то найдутся такие a и b, что a/b - нельзя выразить с помощью дроби n/m, где n и m - натуральные числа. Доказательство этого факта присутствует в книге Х "Начала" Евклида, однако оно не пренадлежит Евклиду и, вероятно, было известно ещё Платону.
Рассмотрим вариант доказательства, приведённый Б. Расселом в книге "История западной философии":
Пусть a - сторона квадрата, b - его диагональ . Тогда по теореме Пифагора 2a^2 = b^2, или b^2/a^2 = 2. Пусть a/b = n/m, где n и m - натуральные числа, откуда b^2/a^2 = m^2/n^2 = 2. Сократим "n" и "m" на общие множители (если таковые имеются), включая двойки, тогда по крайней мере или m или n будет нечетно, но m^2 = 2n^2, значит m^2 - четно, следовательно m - четно, т. к. нечетное число возведееное в квадрат, не может стать чётным числом. Пусть, m =2p, тогда m^2 = 4р^2 = 2n^2, но тогда n^2 = 2m^2 - чесно, и n - четно, следовательно допущение a/b = n/m - не верно.
Следовательно, не всякий прямоугольник можно разделить на равные квадраты без остатка, и формула S = a*b - в общем случае приближенная. Однако ясно, что при увеличении количества квадратов, заполняющих прямоугольник, до бесконечности, погрешность S будет стремиться к нулю, т. о. S = a*b.
Зная же формулу площади прямоугольника легко доказать формулу раскрытия скобок для любых действительных чисел:
Рассмотрим прямоугольник со сторонами: c и (a + b). Его площать равна сумме площадей прямоугольников со сторонами: c, a и c, b:
S = c*(a + b) = c*a + c*b
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!