Любая энергия так или иначе искривляет пространство-время и создает гравитацию, положительную или отрицательную (то есть, притягивающую или отталкивающую). Отталкивательная гравитация бывает редко, один пример — тёмная энергия. А вот и другой пример!
Заряд тоже создает потенциал и, следовательно, гравитацию. Только совсем слабую. Описывает ее метрика Рейсснера-Нордстрёма. Выведем мы ее в другой раз.
Она очень похожа на метрику Шварцшильда. Угловые переменные опустим (они обычные сферические), а остальные такие:
Здесь М — масса шара, Q — его заряд. Обратите внимание, что от знака заряда метрика не зависит.
Если массу устремить к нулю, то получится метрика, у которой при dt стоит 1 плюс положительная добавка. То есть время вблизи такого тела не замедляется, а ускоряется, и гравитация отталкивательная.
Для метрики выполнены законы сохранения энергии и углового момента, и можно переписать ее через эти сохраняющиеся величины (k, l):
Слева у нас энергия на единицу массы. Справа первое слагаемое есть ни что иное, как кинетическая энергия на единицу массы. Остальные три слагаемые образуют эффективный потенциал.
Последнее слагаемое есть отталкивающая "центробежная сила". Просто из-за вращения. Два других имеют тот же знак "плюс", то есть тоже отталкивают. Даже если угловой момент равен нулю, то есть вращения нет, то безмассовый заряд будет отталкивать пробное (незаряженное) тело. Причем довольно сильно на малых расстояниях. Строго говоря, при таком r, при котором второе слагаемое станет равно левой части, остальные слагаемые обязаны обратиться в нуль. Считая l=0 (нет вращения), в нуль обратится первое слагаемое справа, а это кинетическая энергия, квадрат скорости. Простыми словами — на таком расстоянии отталкивание зарядом остановит подлетающее тело, независимо от его скорости и его начальной энергии. Причем речь идет о незаряженном пробном теле: Кулон не учитывается. Это чисто релятивистский эффект.
Другое дело, что таких малых и легких и притом сильно заряженных тел не бывает.
Впрочем, нейтрино и электрон вполне могли бы "пошалить": электрон фактически точка и нейтрино ничего не мешает подлететь к нему так близко, как это позволит принцип неопределенности. И ощутить отталкивающую гравитацию. Правда, у электрона есть масса; но мы сейчас увидим, что она роли не играет.
Эффективный потенциал в случае метрики Шварцшильда дает такую же "центробежную силу" и два слагаемых другого знака: одно пропорционально M/r, другое пропорционально M l ²/r ³. Поскольку центробежное слагаемое пропорционально l ²/r ², то любую центробежную силу неизменно победит притяжение (то самое кубическое слагаемое). При малых r оно обязательно превзойдет квадратичное. Это актуально для черных дыр: слишком близко к горизонту подлетать нельзя. Впрочем, этот вопрос обсудим в другой раз.
Заряд создает отталкивающее слагаемое с четвертой степенью r в знаменателе. На малых расстояниях победит именно оно, так что применительно к электрону — его масса роли не играет. Играет роль именно возможность пустить нейтрино достаточно близко. Но боюсь, что это "близко" слишком мало для принципа неопределенности...
Зато теперь понятно, что такое "экстремальные" черные дыры. Черная дыра с данным зарядом не может иметь массу (и гравитационный радиус) меньше некоторой: иначе отталкивательная гравитация заряда победит притягивающую гравитацию массы и черная дыра перестанет быть таковой.
Если удастся найти частицы без массы, но с зарядом (спойлер: не удастся), то можно будет ими сжигать черные дыры. Идея для фантастического рассказа.
С другой стороны, сильно заряженная черная дыра будет по-кулоновски притягивать заряды другого знака и отталкивать заряды своего, плюс притягивать вообще всё чисто гравитационно своей массой. Поэтому если есть, чему падать в нее, то заряд будет убывать. Экстремальность возможна только в пустоте.
Вот каверзный вопрос: гравитация заряда отталкивательная независимо от знака заряда, но как быть с тем, что в любом атоме есть частицы с двумя зарядами?
Вопрос сложный, и полного ответа я пока не знаю. Разберусь — напишу. Нейтрон заряда не имеет, а протон и электрон вместе тоже нейтральны, но каждый несет заряд. Как же гравитирует атом водорода? Давайте оценим.
Итак, у нас G=6.7∙10⁻¹¹м³/кг/с², M₁=1.67∙10⁻²⁷кг, M₂=9.11∙10⁻³¹кг, Q=1.6∙10⁻¹⁹Кл, ε₀=8.86∙10⁻¹²с⁴А²/м³/кг, c=30∙10⁷м/с.
Гравитационный радиус протона получается равен 2.48∙10⁻⁵⁴м, у электрона на три порядка меньше: 1.36∙10⁻⁵⁷м. А аналогичная величина (квадрат радиуса, определяемого зарядом), меньше на много порядков: 1.9∙10⁻⁷². Даже если взять пару протон-электрон, то гравитационный радиус массы практически как у протона, а радиус заряда больше в четыре раза, что порядок величины не меняет.
Чтобы не пугаться таких немыслимых степеней, давайте перейдем к масштабу планеты. Масса Земли порядка 6∙10²⁴кг, то есть, если это все протоны с электронами (что не так, конечно), то их 3.6∙10⁵¹ пар. Гравитационный радиус планеты получается близок к 0.01 (правильно, он и есть 1 см), а вот заряды определят квадрат радиуса порядка 10⁻²¹м. Что намного меньше протона. В итоге энергия связи неизмеримо сильнее вкладывается в гравитацию, чем заряды. Наверное, в этом и дело. Если нейтрон распался, то дефект массы берет на себя и гравитацию новых заряженных частиц.
Если вы не поняли, при чем тут эти радиусы и квадрат радиуса, посмотрите на формулу для потенциала. Там именно эти радиусы и стоят в числителе, то есть именно они и показывают силу гравитации. Точнее, от массы там стоит отношение гравитационного радиуса к расстоянию r, а от заряда — отношение квадрата радиуса к квадрату расстояния. Если мы посмотрим на гравитацию на поверхности планеты (r=6400км), то гравитация массы дает потенциал порядка 1.5 млн Дж (радиус делим на расстояние и умножаем на квадрат скорости света), а гравитация заряда примерно 2.2∙10⁻²²Дж. На много порядков меньше.
Ну и напоследок простой ответ на вопрос: как же заряд черной дыры может на что-то влиять, если он скрыт под горизонтом чёрной дыры? А вот так и может: он записан в метрике всего пространства вообще. В теории струн вообще вся электродинамика описывается теми же уравнениями Эйнштейна в скрытых измерениях.
Насчет теории струн пока нет полной ясности (хотя я не сомневаюсь, что она верна), а вот метрику, создаваемую заряженным шаром, я вам показал.
Использовалась статья Palit A. Amazing facts in General Relativity. P&A Sc and Tech., 2012v02i1, 68-83
