Привет. Сегодня мы поговорим о множествах чисел.
Все мы в своей жизни используем числа. Смотря на часы, мы определяем время, для чего используем числа. Пойдя в магазин за чипсами или колой, мы смотрим на ценник, чтобы узнать, сколько эти снеки стоят. Опять же, там используются числа. Нельзя просто представить нашу жизнь без них. И сегодня мы узнаем, как и на что они могут делиться.
Перед тем, как пойти дальше, вспомним, что же вообще такое множество в математике? Определение такое: множество - набор, совокупность каких-либо объектов — элементов этого множества. Эти объекты могут быть разными: например, множество людей, идущих по магазину, или множество машин в пробке на МКАДе. Все это входит в понятие множества. В математике множество - совокупность объектов (чисел, функций, других множеств и т. д.), подчиняющаяся определенным правилам сложения, вычитания и т.д.. Далее поговорим об основных множествах в математике.
Начнем с простого. С детского сада, когда мы только научились ходить, родители нам уже прививают способности к счету: например, просят сказать, сколько тебе лет. И ты, ещё будучи зелёным, только ступившим на свой путь развития, пытаешься сосчитать и показать на пальцах, сколько тебе. И вот, мы знакомимся с натуральными числами - числами, которые используем для подсчёта какого-то количества вещей. В них входят числа 1, 2, 3 и так далее в порядке возрастания. Это множество имеет свое обозначение: ℕ. Как уже понятно, это множество уходит в бесконечность в одну сторону, что напоминает луч.
Далее, что если нам расширить множество натуральных чисел в обратную сторону от нуля, получим отрицательные числа и 0, которые вместе с натуральными образуют множество целых чисел. Принято обозначать ℤ. Это множество также будет бесконечным, но уже в обе стороны. Также, забавный факт. При вычитании мы по сути складываем. А складываем мы с отрицательным число. То есть при вычислении такого выражения 6-4, мы на самом деле к 6 прибавляем -4: 6+(-4).
Далее, что если у нас есть 1 яблоко, и его нужно поделить на троих людей. Сколько тогда каждому достанется? Для ответа на данный вопрос вводится понятие рациональных чисел. Это множество включает в себя помимо целых чисел, также нецелые. Для нецелых чисел вводится понятие дроби, как раз характеризующую ее нецелую природу. Однако также можно записать и целое число через дробь. Например: 2,0; 4/2 и т.д.. Обозначаются рациональные числа буквой ℚ.
Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые величины (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что целых чисел недостаточно и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.
Характерным свойством рациональных чисел является то, что они обладают "периодичностью" при представлении их в десятичном виде. Т.е., допустим, число 1/3 будет в десятичном виде выглядеть так: 0,(3), что означает 0,33333333... - тройка повторяется до бесконечности. Также и целые числа: 2,(0) - можно представить в таком виде.
Однако, что если число не обладает периодичностью в десятичном виде? Такие числа есть, и их бесконечно много. Их называют иррациональными, и обозначают буквой I. К ним, например, относят хорошо нам известное число π, или число е - число Эйлера, не менее значимое для всей математики, как и число π. Эти числа впервые возникают у нас, когда требуется найти корень уравнения: х^2=2. Его решением будет пара иррациональных чисел √2 и -√2.
Объединив рациональные и иррациональные числа в одно большое множество, мы получаем множество действительных (или вещественных) чисел. Обозначается буквой ℝ. Это множество включает в себя все выше описанные множества и является множеством, которое даёт физический и вещественный смысл вещам и явлениям: длина пути до дома, масса твоего тела и т.д.
Но что, если мы столкнемся с уравнением х^2=-1? Каковы будут его корни? Для этих целей вводится множество мнимых чисел, которое в себе содержит одно число i=√-1. С этим числом можно делать такие же математические операции, что и с действительными. Так например можно их также складывать и умножать с самими действительными числами также, как бы сложили или перемножили два действительных числа. Главным свойством этого числа является следующее: i^2=-1.
Запись вида z=x+iy, называется комплексным числом, где х и у - действительные числа, а i - мнимая единица. Также х называют реальной частью числа z: Re(z), а у - мнимой частью: Im(z). Множество комплексных чисел, как мы видим, включает в себя и множество действительных, и множество мнимых чисел. Обозначается буквой ℂ. Об особенностях и свойствах комплексных чисел поговорим в скором времени.
Сегодня мы поговорили о некоторых множествах чисел, на которые разделяют их математики. Далее мы разберём некоторые из них поподробнее. Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, пишите свои комментарии. Также предлагайте темы для будущих разборов.
Пока.
#школа #егэ #Образование #образованиедетей #образованиевроссии #математика #матан
