Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу привести Вам пример одного из самых простых и красивых доказательств в теории множеств. Речь пойдет о т.н. алгебраических числах - т.е. вещественных числах, которые являются корнями всевозможных уравнений с рациональными коэффициентами:
Главный вопрос: можно ли их сосчитать, т.е. можно ли каждому такому числу сопоставить некоторое натуральное число из ряда 1,2,3,4,5.....? На первый взгляд кажется, что интуитивно их некоторая бесконечность, умноженная на бесконечность ил возведенная в неё, что предполагает их несчетность. Но это лишь на первый взгляд...
Итак, начнем с того, что сосчитаем все целые числа. Для этого запишем их в две строки и потом "развернем":
Отличный алгоритм. Единственный вопрос: почему мы считаем целые числа, если говорим об уравнения с рациональными (дробными) коэффициентами. Дело в том, что любое уравнение с рациональными коэффициентами можно свести к уравнению с целыми, просто умножив на наименьшее общее кратное (НОК):
Теперь возьмемся непосредственно за уравнение. Мы сопоставим каждому уравнению с произвольным набором коэффициентов следующее уникальное для каждого выражение:
Справа находятся только простые числа в основании степеней. Почему простые? Дело в основной теореме арифметики, которая утверждает, что каждое натуральное число представимо в виде уникального произведения простых сомножителей.
Например, следующему уравнению соответствует натуральное число:
Т.е. "-4" занумерован нами как 8, "0" - как 1, "3" - как 7. В итоге каждому такому уравнению мы сопоставим уникальное натуральное число. В теории множеств это называется биективным отображением.
А еще в теории множеств показано, что если между двумя множествами (в нашем случае алгебраическими и натуральными числами) можно установить биекцию, то такие множества равномощные. Таким образом, мы только что доказали, что алгебраические числа можно сосчитать!Спасибо за внимание!
