Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Пришло время сбросить оковы, окружающего нас вещественного мира и погрузиться в чудесные топологические миры.
В прошлых материалах подборки "Абстрактная математика" мы обсуждали вопросы открытых и замкнутых множеств, операций замыкания и внутренности, рассматривали всевозможные виды точек... Но, согласитесь, было в этом что-то искусственное. Например, с чего мы взяли, что между точками а и b в принципе есть какие-то другие? С чего мы взяли, что есть точки, которые расположены "левее" а или "правее" b? Наконец, с чего мы взяли, что интервал - это открытое множество?
Некоторое количество таких вопросов неумолимо приведет нас к логичному выводу, что наши рассуждения верны лишь в рамках конкретной структуры, которую мы все знаем со школьной скамьи и в которой нам удобно как с визуальной, так и с интуитивной стороны - вещественной прямой.
Значит ли это, что мы еще не на максимальном уровне абстракции, и наши мысли опираются на еще более глубокие понятия? Может быть, есть более фундаментальные структуры? Однозначно, да! И сегодня мы начнем в этом разбираться!
Отречемся от жития мирского
Рассказ о топологических пространствах я бы хотел начать с цитаты из предисловия к книге одного из основоположников топологии Иоганна Бенедикта Листинга "Предварительные исследования по топологии":
Основная идея топологии - это отвлечение от положения, величины и формы геометрических фигур... она наиболее общая, но и наиболее богатая наука, которая содержит в себе, как частные случае, все остальные геометрии
Вот и мы последуем совету - откажемся от вещественной прямой и останемся наедине с обычными множествами. В табличку я свел факты про открытые и замкнутые множества (на вещественной прямой!), полученные нами в прошлых материалах:
Давайте перенесем набор этих свойств (например, для открытых множеств) на еще более абстрактные рельсы. Рассмотрим некоторое множество Х абсолютно произвольной природы и мощности (конечное или бесконечное).
Выделим в множестве Х такую совокупность подмножеств τ, для которой и введем тот же самый набор свойств, введем структуру - топологию:
Топология сама по себе неплоха - в неё включено всё пространство, пустое множество, бесконечные объединения и конечные пересечения множеств.
Интуитивно это значит, что на её основе мы можем что-либо конструировать, создавать, будучи уверенными в некоторой монументальности.
Все множества, входящие в τ мы объявим (!!!именно объявим, назовем, а не выведем из других свойств) открытыми множествами, а совокупность множества Х и топологии τ назовем топологическим пространством, а пункты 1-3 - аксиомами топологического пространства.
Примеры топологических пространств
Возьмем множество, состоящее из трех элементов:
Чтобы задать на нем топологию, мы должны:
- Предъявить некий набор его подмножеств;
- Проверить для них аксиомы 1-3.
Все возможные объединения и пересечения трех подмножеств, которые мы проверяем на предмет "топологичности" удовлетворяют нашим правилам игры, а значит τ - топология на множестве Х, а (X,τ) - топологическое пространство.
На одном и том же множестве можно задать несколько топологий:
Первая из топологий называется антидискретной, а пространство в которой оно является структурой - антидискретным топологическим пространством. Последняя топология называется дискретной - её структуру составляют все возможные подмножества множества Х.
На данном трехточечном множестве мы уже ввели целых восемь топологий, но почему некоторые другие варианты могут не подходить?
Очевидно потому, что у нас не выполняется аксиома № 2! Задание топологии "в лоб", а именно предъявление ВСЕХ множеств, удовлетворяющих аксиомам, - довольно трудная затея. Что, если Х - множество с бесконечным количеством элементов? Оказывается, можно предъявить более лаконичный "хороший" набор, называемый базой топологии. Но об этом уже в следующем материале. Спасибо за внимание!
P.S. В дальнейшем Вы увидите, как из такой абстракции родится не только родная нам "вещественная прямая" с т.н. стандартной топологией, но и другие бесконечно изысканные конструкции.
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас!