Вы когда-нибудь видели человека, который любит геометрию? Лично я – нет. И хоть я и подготовил достаточно много людей к сдаче ЕГЭ, но как ни старайся, не могу вспомнить, чтобы у кого-нибудь загорались глаза при виде задачки по геометрии.
Самое распространенное мнение о геометрии, которое я слышу регулярно – это то, что а) ее не любят, б) ее не понимают. И я подозреваю, что наша всеобщая нелюбовь к геометрии, возникает именно из-за непонимания того, как работать с данным предметом. Человеческий мозг легко строит защиты и начинает игнорировать то, что нас уязвляет. И чтобы геометрия раз за разом не наносила удары по нашему самолюбию, сознанию проще её возненавидеть и вычеркнуть из жизни, чем попробовать разобраться в этом предмете.
Именно поэтому в этой статье я постараюсь добавить немного понимания (и любви) этому бедному, забитому предмету. Ведь все на самом деле проще, чем мы думаем, и геометрия не такая уж страшная дисциплина, как нам может казаться.
Давайте запишем убеждения, из-за которых мы можем на дух не переносить геометрию.
- Геометрия содержит сотни понятий, которые нужно запоминать.
Очевидно, что мало кому понравится целыми днями сидеть и разбирать такие вещи, как аксиомы, теоремы, определения, формулы и доказательства и в дополнение ко всему этому, еще и разбираться, чем они отличаются!
- Чтобы решить какую-либо геометрическую задачу, нужно применять абсолютно непонятный язык доказательства и объяснения.
Я думаю, многие помнят, как учитель в школе просил объяснять и доказывать задачи каким-то определенным заковыристым образом и никак иначе. А как самому проводить такие доказательства, нам так и не объяснили.
Но что, если
- чтобы понимать определения и теоремы геометрии нам достаточно знать и использовать всего только ОДИН факт
- любое доказательство и объяснение может быть построено очень просто. Буквально, как общение в обычной жизни.
Мне кажется, или это сильно меняет дело?
Давайте откинем всю чепуху, которой нас грузили в школе и разберемся, что же на самом деле нужно знать, чтобы начать понимать геометрию.
Если мы переведем слово геометрия, то увидим, что с греческого – оно означает дословно земля + мерить. А что мы обычно измеряем на земле? Это всегда две вещи: углы и некоторые длины.
Забавно, но все сложные геометрические вещи, которые мы не могли осилить в школе, базируются всего на одном простом факте, что в геометрии ВСЁ и ВСЕГДА выражается через длины и углы. И чтобы понять аксиомы, теоремы и геометрические определения, нам достаточно знать только это.
Давайте попробуем применить этот факт, рассмотрев такую фигуру, как квадрат.
Как я могу описать квадрат? Квадрат - это четырехугольник с равными сторонами, у которого все углы прямые. Внимательно прочитав это определение, вы увидите, что я составил его, используя только углы и стороны, и ничего больше!
- Что такое треугольник? Фигура, которая имеет три стороны и три угла.
- Что такое прямоугольный треугольник? Треугольник, у которого есть угол в 90 градусов.
- О чем говорит теорема Пифагора? В прямоугольном треугольнике сумма квадратов сторон у прямого угла, равна квадрату стороны, лежащей напротив прямого угла.
Как вы можете видеть, во всех этих определениях используются только углы и стороны. И это приводит нас к замечательной особенности геометрии: мы можем самостоятельно составлять или вспоминать определения, аксиомы, теоремы, используя только этот факт.
Давайте попробуем дать определение прямоугольнику.
Что мы можем сказать про углы? Они все прямые.
Что мы можем сказать про стороны? Они попарно равны.
Итого получаем: прямоугольник - это четырехугольник с прямыми углами и попарно равными сторонами. Вуаля, мы самостоятельно вывели определение! И в геометрии подобные рассуждения можно провести для всего!
Таким образом, тысячи фактов, которые когда-то казались нам разрозненными, на самом деле объединены и всегда связаны с длинами и углами. За счет этого гораздо легче запоминать и понимать теорию по геометрии.
При этом здесь стоит отметить еще одну важную вещь. Я не могу не признать, что геометрия действительно содержит достаточно много теорем, формул и доказательств, НО легко заметить, что большинство геометрических фактов либо связаны друг с другом, либо друг из друга выводятся. Зная, что такое треугольник, мы можем сказать, что такое прямоугольный треугольник. Зная, что такое прямоугольный треугольник, мы можем сказать, что такое теорема Пифагора. Зная теорему Пифагора, мы можем сказать, что такое теорема косинусов. Ну а зная теорему косинусов, мы можем покорять вселенную :))
Теперь перейдем к доказательствам. Как и у многих, у меня не очень приятный опыт работы с доказательствами в школе. Но все изменилось, когда я осознал следующую вещь:
Доказательство – это логическое рассуждение, которое обосновывает истинность какого-либо утверждения.
То есть, чтобы доказать что-то, нам совсем не обязательно использовать некий геометрический или математический язык символов. Нам нужно просто провести логическое рассуждение, что мы регулярно делаем и в обычной жизни. Например, если Миша приходит с мокрой головой с улицы, где гремит гром, то мы можем определить, что на улице идет дождь. Нужно только увидеть, что логика геометрических доказательств аналогична нашей обычной логике повседневной жизни. Давайте рассмотрим следующий пример.
Зная, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = a∙b. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника равна S = 0,5a∙b.
Обычный человек может сказать следующее: ну видно же, что площадь треугольника в два раза меньше площади прямоугольника. Но это не будет являться хорошим доказательством, потому что слово "видно", к сожалению, ничего не объясняет. "Видеть" можно по разному. И чтобы исключить этот момент "видения" для доказательства нужно использовать условие. Обычно это некоторые геометрические аксиомы, в нашем случае это будет определение прямоугольника и формула его площади.
Пример доказательства:
Проведем диагональ в прямоугольнике, которая разделит его на две части. Получим два прямоугольных треугольника. Из определения прямоугольника мы знаем, что его стороны попарно равны, следовательно катеты полученных треугольников будут равны. Третья сторона у этих треугольников общая. Так как три стороны одного треугольника будут равны трем сторонам другого, то треугольники равны. Поэтому, диагональ поделит прямоугольник на два равных треугольника с площадями в два раза меньше площади прямоугольника. Тогда площадь каждого из этих треугольников равна 0,5ab. Ч.Т.Д.
Как вы видите, в данном доказательстве я не использовал ни одного математического символа, а просто исходил из тех данных, что у нас есть. Получилось громоздко, но я уверен, что каждый сможет провести подобное доказательство, если будет использовать условия задачи.
Возможно, то что я представил выше, не убедило вас в том, что даже к геометрии можно найти свой подход. Я и не думаю, что за одну статью я смогу убедить вас в этом:) Но надеюсь, что я хотя бы ознакомил вас с другой точкой зрения, которую можно использовать при работе с такой сложной и непонятной вещью, как геометрия.
Удачи с постижением нового, и ничего не бойтесь!
