Говоря об относительности, мы всегда начинаем с двух постулатов: относительности, восходящего еще к Галилео, и постоянства величины скорости света. А что, если зайти с другой стороны?
Вот пусть у нас есть пространство. Оно трехмерно и в нем есть группа поворотов. Они описываются синусами и косинусами. Всё понятно, только надо уточнить, что повороты не коммутируют: результат двух поворотов зависит от из порядка. В этом нетрудно убедиться, выполнив два движения: встав лицом к окну, лечь на живот и потом повернуться на правый бок; и наоборот, сначала лечь на правый бок и потом лечь на живот.
Добавим время. Оно одномерно и вообще не похоже на пространство.
Исключительно для простоты оставим одно пространственное измерение, чтобы упростить группу преобразований.
В итоге запись точечного события содержит два числа: где и когда. Это массив.
Чтоб массив стал вектором, надо еще кое-что: чтобы можно было умножать на числа и складывать, но это можно; еще нужно преобразование при смене координат.
Вот тут есть варианты. Введем чисто формально некоторую скорость с и будем обозначать время ict, где i — мнимая единица. Она нужна исключительно для того, чтобы не путать время и пространство. Формальности!
Введем гиперболические повороты, в которых синусы и косинусы заменены их гиперболическими аналогами. В общем-то, это обычные повороты, но из-за i синусы-косинусы получаются гиперболические. Формальность!
Угол поворота s теперь не ограничен 360 градусами, как у обычных поворотов, а может быть любой. Правда, он физического смысла не имеет. Ну и не надо, у нас пока просто упражнение по геометрии.
Зато при выполнении поворота ось времени переходит в прямую x=tgh(s)ct, и если чисто формально обозначить тангенс буквой v/c, то получится переход в систему отсчета, которая движется относительно исходной со скоростью v.
Правда, теперь скорость не может превосходить c. Странно, но зато сумме углов соответствует не сумма тангенсов, а более сложная формула. В точности совпадающая с релятивистской формулой сложения скоростей. Для гиперболических тангенсов формула почти такая же, как для обычных, только знак один заменен на обратный.
В принципе, есть и предельная группа поворотов для с, стремящейся к бесконечности.
Зато других групп — вообще нет. И возникает вопрос: если у нас есть семейство групп преобразования систем отсчета, то какая из них настоящая? Всё сводится к выбору числа с, от нуля (не включая его) до бесконечности (включительно).
В пользу бесконечного c нет ни одного аргумента. Есть аргументы в пользу того, что с должна быть велика, иначе бы эффекты наблюдались каждый день невооруженным глазом. А вот против бесконечной с аргументы есть: нарушается симметрия, повороты перестают быть возможны. Но это аргумент эстетический, согласен.
Возьмем чисто формально четырехмерный (двумерный в нашей упрощенной модели) вектор, и поместим в ту компоненту, которая время, число mc², пока просто число. А вторую оставим равной нулю. И преобразуем вектор по обычным правилам: повернем его по расписанным выше формулам.
Получим формулы для релятивистской энергии и импульса! Для энергии формула такая:
E=γ(v)mc², γ²(1-v²/с²)=1
Если разложить ее по Тейлору, то получим E = mc² + mv²/2 в первом приближении. Первое слагаемое — константа, эта энергия в механических процессах не участвует и ее можно игнорировать, как мы игнорируем энергию мяча, решая задачу о его движении по комнате. А ведь у него есть энергия, которую можно выделить, бросив мяч с балкона.
Второе слагаемое — кинетическая энергия из классической механики. Если вы не знаете, почему она такая, то вот я вам и объяснил.
В пределе бесконечной с тоже можно объяснить, конечно, но не так.
Далее в схему изящно укладывается еще и электродинамика, так что заряды с токами и магнитные и электрические напряженности образуют четырехмерные структуры (векторы и тензоры), которые правильно преобразуются при переходе к другим координатам.
Аргументов за то, что с — это скорость света, становится довольно много. Хотя то, что свет движется с такой скоростью — это частность. Скорость эта — характеристика пространства-времени, как радиус Земли — её характеристика. Геометрия на Земле определяется её радиусом, а физика в пространстве-времени определяется константой с.
Но, конечно, сказать свое слово должен эксперимент. Берем ускоритель и смотрим, как растет скорость частицы с ростом ее энергии.
Она растет быстрее, чем mv²/2. Именно так, как и должна расти.
А что в этом странного? При покупке небольшого числа акций мы их цену не меняем и, если цена стабильна, то мы можем разбить покупку на две транзакции. А если мы покупаем много, то цена меняется сильно, и вторая покупка уже будет дороже первой, так что сумма транзакций не равна транзакции суммы. А больше, чем есть на рынке, купить нельзя вообще. Если не учитывать, что мы упрёмся в квантовую дискретную структуру акций (меньше одной штуки не купить), то цена и будет уходить в бесконечность по мере исчерпания предложения на рынке.
Плюс мы замечаем, что дефект масс существует и масса действительно может превратиться в энергию. То есть mc² — это не формальность, а очень даже реальность.
Поздравляю, господа. Мы пришли к специальной теории относительности. Не просто пришли: мы ее экспериментально доказали. Все эффекты (лоренцево сокращение, замедление времени, относительность одновременности и прочее) теперь становятся просто теоремами.
Аргументы за "классическую" формулу столь же несостоятельны, как за плоскую Землю. Так-то, если из окна смотреть, всё довольно плоско...
