Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня у нас последний из выпусков подборки «Абстрактная математика» перед переходом к удивительно красивому и строгому миру топологических пространств. В прошлых материалах мы познакомились с понятиями внутренности, внешности и границы. Сейчас же мы рассмотрим не менее важное понятие замыкания. Итак, поехали!
Замыкание как множество
Рассмотрим произвольное множеств Х (считаем, что оно всеобъемлющее). Рассмотрим две его особенные точки: одна из них лежит внутри, а вторая – на границе множества.
У каждой из этих точек любая окрестность пересекается с множеством Х. Множество всех предельных точек множества составляет его замыкание:
Другое определение cl(Х) – это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Х.
Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто (не зря же мы рассматривали это фундаментальное свойство), замыкание всегда есть замкнутое множество.
Следующее важное свойство замыкания мы восстановим в связке с понятием внешности множества. Пусть А лежит в множестве Х. Тогда замыкание – это наименьшее замкнутое множество, включающее в себя данное множество.
Чтобы его получить, нужно из бОльшего множества Х вычесть внутренность дополнения А (заштрихованную область). Внутренность дополнения – это внешность, как мы определили в прошлом материале.
Замыкание как операция
Теперь используем прошлое равенство для решения вполне конкретной задачи, в которой мы будем применять замыкание как унарную операцию над множеством. Итак, нам требуется найти замыкание множества рациональных чисел Q на вещественной прямой R:
Для этого (по формуле выше) рассмотрим, что из себя представляет внешность множества рациональных чисел. Взгляните на произвольный интервал:
Между двумя любыми рациональными числами (без потери общности и вне любого рационального интервала) существует бесконечное множество других рациональных чисел, которое можно строить по принципу, описанному выше. Следовательно, внешность множества рациональных чисел пуста.
Интуитивно, множество рациональных чисел «настолько плотное», что всё, что кроме него составляет множество меры 0, в промежутках между (вне) рациональными числами не найти такого, что их не содержит. В топологии принято использовать термин «всюду плотное множество».
Замыкание же его, судя по формуле, равно R. Если приводить еще примеры на вещественной оси, то замыкание отрезка, интервала и полуинтервала – это отрезок с соответствующими концами.
- Спасибо за внимание! Следующий материал – про топологические пространства!
