Доброго времени суток! Эту статью я хотел бы посвятить жизненно важному вопросу: стоит ли срезать через дворы, когда вы идете из одной точки города в другую, или же можно просто пройти по главным улицам и не париться? Также рассмотрим еще несколько ситуаций, связанных с удобным перемещением по городу и ответим на вопрос: а как это вообще связано с математикой? Приятного прочтения!
Идея данного видео пришла мне, когда я гулял с друзьями по городу (да, у человека, ведущего канал, посвященный математике и физике, могут быть друзья), и нам надо было дойти до одного места. Я предложил идти по главным улицам, потому что так красивее, но один из друзей сказал, что лучше срезать дворами, потому что «так быстрее». Тогда-то я и задумался – а действительно ли быстрее «срезать» через дворы. Поэтому сегодня мы рассмотрим этот вопрос с математической точки зрения.
Начну издалека. Все мы в детстве, да и не только, когда первый раз услышали теорему Пифагора, думали: «Хм, то есть, если я пойду по диагонали, то я срежу огромную часть пути?» И правильно думали. Кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая, на которой они лежат.
Получается все, вопрос исчерпан? Не тут-то было! Город – не идеально ровное поле. В нем есть дома, много домов. И, зачастую, они стоят прямо на пути, если вдруг возникает желание срезать путь, используя «математический склад ума».
В этот момент кто-то скажет: «Ну так можно просто обойти дом, стоящий на пути. При этом все равно путь будет короче, чем если идти по главным улицам». Именно момент с обходом домов мы и рассмотрим в этом видео.
Пусть у нас есть точка А и точка Б. Проведу через них перпендикулярные прямые (А принадлежит одной прямой, Б – другой). Это будут главные улицы города. Также проведу прямую (пунктиром) через точки А и Б одновременно. Это будет кротчайший маршрут.
Теперь добавим домов. Для модели нам достаточно представить дома в виде квадратов. Пространство между домами будем называть дорогами, по которым можно ходить. Теперь построим кротчайший маршрут с учетом домов. У нас получилась ломанная линия, максимально приближенная к прямой, проведенной через точки А и Б.
Введу оси Х и У параллельно главным улицам.
Теперь спроектирую на них все участки пути.
Как вы можете видеть, расстояние одно и тоже.
Чтобы убедиться, что теория согласуется с практикой, найдем в каком-нибудь городе район, подходящий под наши начальные условия и построим маршрут между некоторыми точками.
Действительно, теория хорошо согласуется с практикой – расстояние практически не отличается. А отличие обуславливается неточностью модели – у домов все же есть дворы и, зачастую, их можно пройти по диагонали.
Где подобное рассуждение может пригодиться в математике? Представим ситуацию: прошли вы в школе интегрирование. Вам рассказали, что площадь любой фигуры можно найти, разбив ее на огромное количество маленьких прямоугольничков. Идете вы после этого урока домой, и тут подозрительный дядя в подворотне вам говорит: «Хочешь покажу тебе, что математика не работает». В, кончено же, с интересом к нему подходите, и он рассказывает вам такую вещь. Если у вас есть прямоугольный треугольник, то как найти его периметр? Нужно просто сложить все его стороны (пусть a, b – катеты, c – гипотенуза). Причем одну из сторон можно выразить через две другие по теореме Пифагора (a+b+c=a+b+√(a2+b2)). Но тут этот подозрительный дяденька предлагает вам второй способ нахождения периметра. Он говорит: «Вот ты интегрирование проходил? Проходил. Значит попробуем найти периметр так же, как в интегрировании: разобьем этот треугольник на кучу маленьких прямоугольников. Теперь берем и складываем из всех вертикальных частей один катет треугольника, а из всех горизонтальных – второй. И получаем, что площадь треугольника равна 2(а+b). Давай-ка их сравним!»
Получаем, что 2ab надо сравнить с 0. А натуральное и b натуральное, значит 2ab>0, т.е. периметры не равны. «Математики нам врут!» - заявляет подозрительный дяденька. Но вы уже знакомы с таким рассуждением из первой части повествования, поэтому вас не обмануть! И теперь в такой ситуации вы с гордостью можете ответить этому нехорошему человеку, что такой метод работает только для нахождения площади, а не периметра. Если взять вот такую ломаную линию:
И сказать, что если смотреть на нее издалека, то ее периметр равен прямой, проведённой от ее начала до ее конца, то конечно это будет неверно. Вот тут тоже самое.
Бонусом хочу добавить интересное рассуждение про перемещение пешком по городу в форме веера или круга. Допустим, вам надо добраться из одной точки города в другую. Обе эти точки лежат на одной окружности с центром в центре города, прошу прощение за тавтологию. И вам надо понять, как быстрее пройти: по самой окружности или по радиальным улицам через центр (представим, что карта города у вас есть, а интернета нет, чтобы навигатор сам построил кротчайший маршрут). Тогда рассуждаем так: если идти по радиальным улицам, то путь составит 2R. Значит если длина дуги, по которой мы пойдем, меньше, чем 2R, то стоит идти по ней, а если больше, то по радиальным улицам.
Но как сходу узнать длину дуги без измерительных приборов? В этом нам помогут радианы. По определению, радиан – угол, соответствующий длине дуги, равной радиусу. 1 радиан = 57 градусов. Нас интересует длина дуги, равная 2R, значит угол, который нам нужен, равен 2 радиана или около 114-115 градусов. Такой угол уже можно прикинуть на глаз и выбрать более оптимальный маршрут!
Всем большое спасибо за прочтение! Как вы могли заметить, название немного изменилось и добавился новый ведущий, а точнее ведущая, которая будет создавать контент по физике. Так же у нас появился телеграмм канал, в котором публикуются анонсы видео и полезные материалы по тематике. Рекомендую подписаться! Всем пока!
Видео на Ютубе: https://youtu.be/NOrQ3r2kq_0
Видио на Дзене: https://zen.yandex.ru/media/id/609a7e46c61cb85a16666e86/62cd911263f88417d78c08cf
