Итак в предыдущих статьях мы научились строить многогранники Рёло любой размерности, а также искажать эти многогранники не теряя вершины. В самом начале я показал "быстрый" моноширинный многогранник, который потерял одну вершину(быстрый потому что построения самые простые, ничего не считать, построил и все). Сегодня посмотрим как убрать все вершины у тетраэдра Рёло. Сам тетраэдр мы пожалуй строить не будем. Представим итоговое тело как сумму поверхностей прокручивания моноширинной фигуры на угол.
Построим правильный треугольник, и удлиним его стороны в два раза:
Ну думаю понятно, стороны треугольника остались те же, просто добавились отрезки к каждой стороне лежащие на тех же прямых что и стороны треугольника. Можно и не вдвое, здесь кому как нравится, мне понравилось так.
Строим моноширинную фигуру на базе этих трех центров вращения.
Для тех кто изучал моноширинные фигуры по популярным изданиям это действие может показаться удивительным. Поясню: плоская моноширинная фигура это некоторая кривая состоящая из пар дуг окружностей принадлежащих нечетному количеству центров кривизны. Если радиус каждой малой дуги равен 0 - нулю такая кривая называется моноширинным многоугольником. Однако моноширинные многоугольники это малая часть моноширинных фигур. Как бы жутко это не звучало, бесконечное количество - малая часть. Существует еще более бесконечное количество фигур у которых присутствует часть малых дуг, или все малые дуги одинаковых или различных радиусов.
Итак мы получили моноширинную фигуру ширина которой вдвое больше чем у треугольника Рёло построенного на тех же центрах кривизны. построим моноширинные тетраэдры. Как и в случае с телами Мейснера их будет всего два(Тетраэдр то правильный). Начнем с тела у которого все скосы собраны у одной поверхности сферы. Прокрутим пару противоположных дуг вокруг ребра треугольника. На угол между гранями тетраэдра, приблизительно равен 70.529, как посчитать точнее было здесь.
Вот такой кусочек получился. Проделаем то же самое с остальными участками.
Вот, это те самые "Проблемные участки" которых нам раньше не хватало, можно было конечно прокрутить все участки базовой фигуры, но тогда пришлось бы мучатся либо с самопересечениями, либо с небольшими недостающими участками, сейчас же нам достаточно дополнить тело участками сфер двух радиусов, четыре участка с радиусом в 75% ширины, и четыре в 25% ширины.
Ну и получаем вот такой вздутый моноширинный тетраэдр:
Ничего в общем то сложного, однако заметим что острых вершин у такого моноширинного тетраэдра уже не будет, а значит износить его до уменьшения ширины будет посложнее.
Далее простая аксиома, чем меньше отношение стороны базового тетраэдра к ширине итогового моноширинного. Тем ближе итоговое моноширинное тело к сфере. Следовательно отношение объема к ширине увеличивается. Это утверждение нам пригодится позже. Когда будем доказывать что тело Мейснера имеет минимальный объем при заданной ширине.
Шутка, которая правда напоследок: судя по тому что у нас получилось 8 треугольных граней и 6 четырехугольных это тело можно назвать кубоктаэдром, жаль что правильный моноширинный кубоктаэдр это сфера :).