Можно ли считать, что данный многочлен разложен на множители?
Формально, да. Он представлен в виде произведения. Но большинство учителей посчитают, что задание не доделано. Потому что многочлен в скобках раскладывается на множители.
В формулировке задания "Разложите многочлен на множители" есть белое пятно. Не определен критерий результата. К сожалению формулировки лучше, чем: "полученные множители нельзя еще разложить" нет. Потому что
Неприводимый многочлен
Определение. Неприводимый многочлен это многочлен, который нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени. f(x)≠g(x)h(x), deg(g)<deg(f) и deg(h)<deg(f).
Как видите это более сложное выражение, но с тем же самым смыслом. Добавляется только требование меньшей степени. Формально из любого многочлена можно вынести числовой множитель. Но это не меняет ситуации. Иногда делает хуже:
Почему так сложно?
Проблема неприводимости похожа на проблему простоты числа. Чтобы узнать простое число или нет, нужно найти его делители. Или посмотреть таблицу. Но максимальные значения в таблицах ограничены, а поиск делителей задача не из легких.
Например, число 567 109 придётся делить на 133 простых числа. Делать это вручную довольно долго. И даже с использованием компьютера для чисел больших размерностей потребуется значительное количество времени. Что уж говорить про деление многочленов.
Какие есть варианты
Несмотря на сложность, ситуация не безнадежная. Во-первых, есть теорема Безу:
Если число а является корнем многочлена f(x), то f(x) делится на (x - a).
Таким образом, если мы найдем корень, то сможем поделить. Это уменьшит степень исходного многочлена.
Возникает вопрос, как найти корень. Для многочленов второй степени есть простой алгоритм решения, который знают все восьмиклассники. Нахождение корней квадратного трехчлена через дискриминант. Но уже с третьей степени возникают сложности. Алгоритм для решения есть, но он довольно сложный.
Проще воспользоваться следующими утверждениями:
Любой корень многочлена с целыми коэффициентами можно представить в виде дроби, в числители которой делитель свободного члена, а в знаменатели делитель старшего коэффициента.
Второй вариант найти неприводимые многочлены используя решето Эратосфена. Этот алгоритм для поиска простых чисел, можно использовать для многочленов.
Сначала нужно выписать все возможные многочлены до какой-то степени. Затем последовательно рассматривать каждый из них, проверяя его не делимость. Если делителей нет, то вычеркивать все многочлены, которые делятся на данный. Алгоритм простой, но сложность в первом пункте. Невозможно выписать все многочлены данной степени, если количество коэффициентов бесконечно. Приходится ограничивать не только степень, но и задавать многочлен над полем с конечным числом элементов. А это уже немного другая математика.
