Математика бывает непрерывной и дискретной. В непрерывной рассматриваются, так или иначе, континуумы, а в дискретной - конечные или счетные множества. Есть, конечно, и объекты, которые ни туда, ни туда не попадают, да и вообще классификация условная. Но есть.
Модели сплошной среды, теплопроводности, непрерывно распределенных случайных величин термодинамики и т.п. являются моделями, то есть имеют область применимости. Так, говорить о звуковой волне в сплошной среде можно, но только пока вещества много. Как только мы видим отдельные молекулы, понятие звука размывается и перестает быть адекватным. Вообще перестает иметь смысл. Хотя говорить о передаче энергии по-прежнему можно.
Так происходит и в квантовой механике. Я бы хотел показать этот процесс на примере из совершенно другой области.
Информация распространяется в обществе по определенным законам. Даже уравнения есть, и процессы эти похожи то на диффузию, то на волны. При этом население мы считаем сплошной средой с какой-то плотностью, упругостью (как много контактов в среднем по популяции) и тому подобными аналогами. Так распространяются слухи, мемы, новости. Пока людей много, модель адекватна.
Для болезней тоже есть сходные модели, иногда те же самые.
Но вот по мере изменения масштаба мы приходим к отдельным актам коммуникации, к отдельным людям. И вдруг получается, что всё дискретно!
Информация дискретна. В крайнем случае это отдельные биты, в менее запущенном - символы, слова, предложения, высказывания, документы. Кто слил документ в сеть? Пока он, копируясь, растекается по популяции, вполне работают волновые или диффузионные модели, но по мере отслеживания источника всё ярче проступает дискретность: кто кому передал, и приходим к источнику утечки.
Аналогично с нулевым пациентом. Пока болезнь гуляет по стране (пусть это будет ЗППП, чтоб интереснее), то пригодны модели непрерывные, но по мере выявления источника надо регистрировать отдельные акты ... хм ... передачи патогена.
И есть некий принцип неопределенности: человек не локализован точно, он может перемещаться по городу. Он может начать рассказывать анекдот у вокзала, а закончить на набережной. В рамках непрерывной модели так нельзя.
И нельзя "просто поговорить", не сообщая никакой информации! Всё сказанное может быть использовано против вас! Это важно. В большом городе можно, например, провести опрос, и надеяться, что он никак не повлиял на настроения жителей. Или обследовать выборку горожан на ЗППП и надеяться, что это пройдет в целом незамеченным. Но на уровне, скажем, небольшого коллектива это уже не обязательно так.
Конечно, можно сказать, что непрерывные модели в данном случае - приближения, а на самом деле верны модели дискретные. Это так, но и в физике "на самом деле" всё квантовое. Просто когда энергии и масштабы вообще велики, то непрерывные модели хорошо работают. Ровно так же, как модели сплошной среды хороши для описания воздуха, воды и твердых тел...
Вот кстати, уместно здесь коснуться вопроса о моделях. Говорят иногда, что Максвелл вывел свои уравнения на основе эфирной модели. Не легализует ли это эфирные теории?
Нет. Модели вы можете хоть какие использовать - дело не в них. Конечно, есть проверенные, протестированные верифицированные модели, количественные, которые позволяют посчитать с приемлемой точностью те или иные величины. Это другое дело. Но в голове вы можете любую модель держать: если она удачная, вы что-то поймете, посчитаете, а потом и докажете другими средствами. Пример: капельная модель ядра. Модель удачная и продуктивная, но опять-таки не абсолютная. Скорее, аналогия, а не модель.
И обратите внимание: хорошо работает для тяжелых ядер, а для легких вступает в игру дискретность: когда нейтроны и протоны уже считанные, то говорить о плотности заряда не приходится. Поэтому для урана всё хорошо и понятно, почему 235 нестабилен, а 238 стабилен (хотя тяжелее). А вот для водорода, в котором один протон, нет такой ясности: ведь по идее тритий тяжелее в три раза, а вот плотность заряда в три раза ниже. Здесь модель капли не слишком применима, так как тритий нестабилен, а водород - стабилен. Мы это обсуждали в заметке про ядерные и термоядерные реакции.
Или вот модель сражения, которую мы обсуждали. Спорная модель, конечно, но кое-что проясняет. Так вот там именно непрерывная модель, то есть численность войск выражена вещественным числом. Пока солдат много, это нормальное приближение. А вот как стало мало, проявляется дискретная природа. И, кстати, случайность: ведь модель выводится из предположений о среднем числе убитых противников одним воителем. Предполагается, что процесс случайный. Когда осталось 5 человек с одной и 4 с другой, эта случайность заявляет о себе.