С помощью теоремы Гаусса задача легко решается, и действительно получается, что напряжённости внутри сферы нет. Если прикинуть, то для центра сферы это очевидно, но неужели это работает даже для точки, которая с ним не совпадает? То есть, если взять и честно сложить действие каждого элемента площади сферы, то выйдет ноль? Здесь произведён этот честный расчёт.
Пусть дана сфера с известным радиусом a и известной поверхностной плотностью заряда σ.
Будем производить расчёт в точке, отстоящей на расстоянии ξ вниз от центра - это и будет решением, благодаря очевидной роли симметрии задачи. Для последующего интегрирования будем разбивать сферу на тонкие кольца с определяемой бесконечно малой шириной. Формула напряжённости в точке на оси кольца легко и понятно выводится с нужными знаниями:
где q - заряд кольца; r - расстояние от любой точки кольца до искомой; α - угол между осью кольца и прямой r.
В случае сферы вместо q для кольца мы должны записать элемент заряда dq, определяемый бесконечно малой площадью кольца dS и поверхностной плотностью σ.
Площадь кольца, как известно, выражается через длину кольца и ширину. Выпишу известные соотношения:
Далее с использованием теоремы косинусов можно найти квадрат величины r:
Косинус угла α выразим из той же теоремы косинусов:
Подставляя все найденные значения в основную формулу, имеем:
Очевидно, что это выражение необходимо проинтегрировать в пределах от 0 до π:
Постоянные множители, если это будет необходимо, будут учтены в конце. Этот интеграл разбивается на два интеграла:
Первый из которых интегрируется непосредственно с помощью подведения под дифференциал, а второй - с помощью подведения под дифференциал и интегрирования по частям. Вычислим первый интеграл, предварительно сделав замену x = cosθ:
Далее подкоренные выражения сворачиваются в полный квадрат. После очевидных преобразований получаем окончательное значение первого интеграла:
Запомним это значение и приступим ко второму. Во втором интеграле делаем такую же замену:
Далее произведём интегрирование по частям:
При подстановке пределов в последнем выражении и преобразований, имеем:
Это же и есть значение первого интеграла, но с противоположным знаком! Их сумма будет равна нулю. Отсюда и напряжённость действительно равна нулю.
Таким образом, мы честно подсчитали напряжённость внутри заряженной сферы.