Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уже когда-то рассказывал про интересные обобщения производной функции: тогда речь шла о дробной производной.
Сегодня я познакомился еще с одним обобщением - арифметической производной. Поехали!
Определение
Как и в случае с дробной, арифметическую производную мы определяем как некоторое отображение из целых чисел в целые, которое удовлетворяет набору свойств:
Из второго и третьего свойств можно сделать вывод, что нахождение любой арифметической производной так или иначе сводится к факторизации - разложению на простые множители:
Есть ли какие-то другие свойства, которые роднят арифметическую производную с классической? Давайте посмотрим, как вычисляется арифметическая производная степенного выражения:
А теперь попробуем по классической формуле:
Конечно, в общем виде это утверждение требует доказательства, например, по индукции, но поверьте на слово! А что же с арифметической производной рациональных чисел? И здесь красиво!
Какого-то практического применения арифметической производной найти мне не удалось, разве что при переформулировке некоторых проблем теории чисел, например проблема чисел-близнецов или гипотезы Гольдбаха: