Всем привет! Одна из тем, на которую стоит обратить внимание ученику в 8 классе – это окружности, свойства окружностей, а также центральные и вписанные углы.
Семиклассник уже знает такие понятия как радиус окружности и диаметр окружности. Также ученику известно понятие «хорда».
- Диаметр и радиус всегда связаны с центром окружности.
- Диаметр – это два соответственно равных радиуса.
- Диаметр и есть хорда, только проходящая обязательно через центр окружности.
Школьник также может найти площадь окружности – число Пи умноженное на радиус в квадрате (в квадрат возводится только радиус!). В восьмом классе добавятся новые термины, такие как центральные и вписанные углы, касательные к окружности и секущие.
Разберёмся с углами. У вписанного угла вершина лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Такой угол в два раза меньше дуги, на которую он опирается. Дуга – это часть окружности.
Теперь центральный угол. Его вершина лежит в центре окружности, этот угол равен дуге, на которую он опирается.
Проще простого, скажете вы? Задача постепенно усложняется, и излюбленный ход у составителей задач по геометрии – достраивать центральный угол до равнобедренного треугольника, проводя хорду, соединяющую в нашем случае точки A и C. В задачках попроще нужно будет найти эту хорду, зная, например, радиус и периметр треугольника, либо же найти углы при основании.
С углами, кажется, вопрос решен. А что с касательными и секущими?
Касательная – это луч, проведенный из точки вне окружности. Он только касается окружности и имеет с ней общую точку, но не пересекает ее.
- А тут излюбленный ход – проводить из одной точки две касательные. Либо же две секущие/касательную и секущую.
Обязательно нужно запомнить, что радиус, проведенный к точке касания, будет всегда перпендикулярен касательной (то есть будет образовывать угол, равный 90 градусов – прямой).
А что же такое секущая? Это луч, проведённый также из точки вне окружности, но пересекающий ее и имеющий с ней две общих точки.
Важно знать:
- Дана ситуация, в которой из одной точки проведены касательная и секущая. Назовем точку A, касательная – AC и секущая AD (точки на окружности B и D) Тогда AC в квадрате = AB*AD. Иными словами: квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.
- Отрезки касательных равны.
- Произведения двух пересекающихся хорд будут равны. Предположим, у нас есть две хорды – BD и AC и пересекаются они в точке E. BE = 3, ED = 15; AE = 9, EC = 5. 3*15=9*5 => 45=45 чтд.
- Произведения двух отрезков секущей, проведенных из одной точки равны. Допустим, у нас есть две секущих, проведенных из точки A – AB и AD. Они имеют общие с окружностью точки – E и C (помимо B и D) => AE*ED=AC*CD. Возьмём числа 6;6;9;4. 6*6=9*4; 36=36 чтд.
Бонус: необходимые и интересные факты (а необходимы они для задач повышенной сложности):
- Угол, заключённый между касательной и хордой в два раза меньше чем дуга, заключенная между этой же касательной и этой же хордой. Например, рассмотрим следующую ситуацию: нам дана хорда AB, касательная CD и дуга, равная 30 градусам. А найти надо угол, заключённый между касательной и хордой. Все просто, если знаешь это свойство – 30:2=15. Задача решена, угол равен 15 градусам.
- Чтобы найти угол, заключенный между двумя секущими, нужно из большей дуги вычесть меньшую и поделить эту разность на два. Например, у вас есть две секущие из одной точки A – секущая a и секущая b. Прямо возле точки A, между секущими, заключён угол. Нам известны две дуги, одна из них 45 градусов, а вторая 145 градусов. Чтобы найти угол, нужно из 145 вычесть 45 и разделить на два. (145-45)/2 = 100/2 = 50. Задача решена.
- Эта теория похожа на вторую. Чтобы найти угол между хордами, нужно сумму двух известных дуг, заключенных между хордами, разделить на два. Оставим те же данные, что и в прошлой задаче: (145+45)/2 = 190/2 = 95 градусов. Задача решена.
Насколько я знаю, данная теория из геометрии 11 класса. Но она очень пригодится при решении более сложных задач и в 8-9 классе.
Надеюсь, что кому-то я все же помогла! Если у вас остались вопросы, можете обращаться в комментариях. ❤️