Вот в чём вопрос! Часто к комментариях проскальзывает такая мысль: ну, мало ли что эти ваши математики могут придумать. Напридумывали, понимаешь, всяких пространств, чисел, зауми, а "чтоб по-человечески — это нет...".
Давайте посмотрим, может ли математик что-то придумать, или не может и просто открывает то, что и так "есть".
Начнем с простого: с чисел. Как говорил Кронекер, натуральные числа создал Бог, остальное — люди. Ну... натуральные числа даны в ощущениях, как количества. Это правда. Дроби уже надо "придумывать", деля пирог на части или там апельсин на дольки. Если что-то не делится, то у нас проблемы. Недаром и "атом", и "индивидуум" переводятся с классических языков как "неделимый". В итоге, "полтора индивидуума" стало классической шуткой, а атом, как оказалось, порой можно разделить (а то и сам разделится) или даже слить два в один.
Однако придумать дроби по-другому никак нельзя. Поняв идею, можно прийти к этим же правилам приведения к общему знаменателю и т.п.
Вы можете шутки ради ввести правила сложения дробей по принципу "числитель с числителем, знаменатель со знаменателем", но это не будет согласовано с естественными правилами арифметики. Так, 2 можно представить как 2/1, но тогда 2+2 это 2/1+2/1, и мы получаем не 4, а 4/2, то есть 2. Вы можете попробовать ввести другие правила сложения, да; теория групп этим и занимается. Но такое сложение не будет отвечать практике. А этого бы хотелось, вам же не абстрактные группы интересны. Согласованное же с арифметикой сложение дробей — оно одно.
Так же, как и запрет деления на нуль. Это не учительницы математики сговорились, поверьте. Просто никак деление на нуль не определить так, чтобы что-нибудь ценное не заломать.
Или вот отрицательные числа: они хорошо ложатся на концепции долга, расходов, зарядов другого типа или температуры ниже нуля. Но "минус на минус даёт плюс" — это не Мариванна придумала, это объективно так. Никак по-другому.
В геометрии есть аксиомы, и мы предполагаем, что они независимы. Соответственно, можно заменить аксиому другой или отменить ее вообще. При этом может что-то содержательное получиться, а может не получиться ничего интересного. Пример Лобачевского я уже много раз приводил: геометрия на базе "через точку вне данной прямой можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данную прямую" содержательна, но она такая, какая есть. То есть Лобачевский её всё-же открыл, а не выдумал. А вот парная геометрия "любые две прямые пересекаются" несостоятельна, так как существование одной прямой, не пересекающей данную и проходящую через данную точку вне прямой, можно доказать. Это геометрия на сфере, она очень содержательная и практичная, но вот только другие аксиомы тоже надо подправить. Или идти другим путем изначально.
И это не кто-то придумал — это так и есть. Это открыли.
Кто придумал теорему Ферма? Которую доказать 300 лет никто не мог? То есть числа обладают вот таким вот свойством (xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет решений в натуральных числах при натуральном n>2), смиритесь. Это не Ферма придумал (открыл, догадался — да, но не придумал), и не Уайлс. Это так задумано. Это как дважды два четыре, только сложнее. Кем задумано — вопрос, но это так.
Кто придумал теорему о классификации простых групп, о которой я расскажу отдельно? Как так вышло, что простые группы делятся на такие-то семейства плюс отдельные спорадические? Эти группы открывали, а не придумывали.
Это Пифагор постановил, что окружность длиннее диаметра в пи раз? Нет, он (или не он?) это открыл. Он же открыл, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной: как не режь сторону на равные части, диагональ ими точно не измерить.
А Кантор открыл, что на квадрате точек не больше, чем на стороне (хотя таких отрезков, как сторона, в этом квадрате несчитано). Открыл и поверить не мог.
Конечно, не всё всегда так гладко. Скажем, рациональные числа можно пополнить по норме |x|, и получить вещественные. Последовательность из рациональных чисел может явно сходиться к чему-то, но рационального предела не иметь. Тогда мы говорим, что вся эта последовательность (и все, сходящиеся туда же) и есть "число", вещественное число. И это работает, те же корень из двух, пи и число е нам нужны.
Но можно ввести другую метрику, р-адическую. "Модуль" рационального числа зависит от того, на какую степень простого числа р делятся числитель и знаменатель. Получается вполне себе метрика. По ней можно пополнить множество рациональных чисел и получить р-адические числа. Причем кроме них и вещественных, ничего больше нет.
Можно было бы сказать, что р-адические числа выдумка, но почему тогда других выдумок нет? Больше ничего не придумать! Значит, всё-таки они есть и открыты, а что применяются не так часто — так мало ли что нечасто применяется.
Очень часто приходится работать с функциями. Дифференциальные уравнения, вероятность, да мало ли что. И мы рассматриваем пространства функций. Казалось, бы, в чем проблема? Рассмотрите пространство всех функций, как мы делаем это с числами, и все дела. Но не тут-то было! Пространство всех функций ввести можно, но оно почти бесполезно. Для него нет никаких результатов. И не то что их пока не нашли — их попросту нет.
А вот пространства непрерывных, или ограниченной вариации, или интегрируемых абсолютно или с квадратом, или почти всюду ограниченных — они есть, содержательны, там много результатов. Причем L-пространства тянут за собой и меняют само понятие функции: вместо функций, определенных в каждой точке, мы приходим к функциям, определенным почти всюду, и не различаем функции, которые совпадают почти всюду.
А теория функций комплексной переменной опять-таки открывает (а не придумывает) различные чудесные свойства аналитических функций. Кто бы мог подумать, что весь зоопарк элементарных функций собран из решений одного-единственного уравнения Лапласа ∆u(x,y)=0?
Так что математика — объективная реальность.
А вот какая ещё объективная реальность есть — вопрос следующей беседы.
