Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В этой статье я покажу Вам не совсем тот пример, который Вы ожидали. Ну что может быть за задача, с которой под силу справится даже школьнику, может речь идёт о каком-нибудь ребусе или головоломке, в которых нужно применить смекалку? Нет, Вы удивитесь, но речь идёт о системе уравнений, да еще и линейных! Вот наш экспонат:
Система, как видно, неопределенная, ведь второе уравнение получается из первого умножением на √2. Компьютер, впрочем, легко справится с ней. Однако представьте, что эта система уравнений описывает состояние некой физической системы, параметры которой изменяются с течением времени. Давайте зададим некоторые погрешности в первом уравнении и посмотрим, что произойдет с решением:
Для простоты решим эту систему уравнений методом Крамера. Найдем определители:
Тогда искомые переменные равны:
Представьте, что введенные нами "эпсилоны" очень малы, но всё же могут отличаться на порядки, например:
В этом случае относительная погрешность не такая большая, а если наоборот, поменять эпсилоны местами?
А здесь погрешности уже достигают нескольких порядков! Предложенные нами искусственные погрешности легко можно "смоделировать" на ЭВМ. Что, если ограничиться точностью в два знака после запятой для корней во втором уравнении?
В таком случае у уравнения решение х = 1/3, y=2/3. Теперь давайте увеличим количество цифр в записи до трех и получим x=3/2, y=1/2!Для пятидесяти знаков после запятой х = 9,666..., y=0,6666, а для двухсот значащих разрядов х = -5,5 (!!!), y = 1,5. Как видно, решения ведут себя крайне не регулярно, а их решение на ЭВМ сопряжено с некоторыми трудностями.
А если эти расчеты касаются графитовых стержней в ядерном реакторе?
Такие задачи в математике называются некорректно поставленными - другими словами, задачами, неустойчивыми по отношению к погрешностям в их исходных данных, отличающимися тем, что сколь угодно малые изменения в этих исходных данных приводят к произвольно большим изменениям решений таких задач.
Для их решения существуют определенные методы, например, метод регуляризации А.Н.Тихонова - советского математика, основателя факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Однако это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
