Привет, друзья. В комментариях мне был задан вопрос, на который я ответил неправильно. Вот исправляю свою ошибку. А вопрос такой: если муха, упруго отскакивающая от неподвижного автобуса, имеет релятивистскую скорость и равную массе автобуса "релятивистскую массу", то остановится ли муха после удара?
Давайте сначала разберемся с "релятивистской массой". Такое понятие сейчас не используется, о причинах совсем скоро поговорим детально. Однако если скорость света принять за единицу, то энергию и массу можно измерять в одних и тех же единицах. В килограммах, например. Тогда масса покоя тела является просто формой энергии, которой тело обладает. Одной из форм.
В дальнейшем нам будет часто нужен фактор Лоренца γ: тот самый "корень в знаменателе". Он зависит от скорости u тела и выражается формулой γ²(1-u²)=1.
Так вот, энергия тела выражается очень просто: E=γ(u)m, где m — масса тела. Масса покоя, других "не держим". Импульс тела имеет вид Eu и это вектор. Но у нас направление скорости одно, поэтому будет одно число.
Энергия и импульс образуют четырехмерный вектор энергии-импульса, который "поворачивается" при переходе в другую систему отсчета. В результате в другой системе отсчета энергия есть комбинация энергии и импульса, и импульс тоже комбинация.
Если энергию разложить по степеням u, то первым приближением будет энергия покоя m плюс кинетическая энергия. При малых скоростях остальное роли не играет, как правило. А поскольку энергия покоя не меняется в механических процессах, то и ее игнорируют.
Итак, в системе-1 автобус изначально покоится, а муха имеет такую скорость, что ее энергия равна массе автобуса. Пусть муха весит грамм, а автобус тонну, так что фактор Лоренца мухи равен одному миллиону. Это довольно большая скорость, отличающаяся от скорости света на долю около ε=5∙10⁻¹³.
Что будет после упругого удара? Сумма векторов энергии-импульса двух тел до удара и после — совпадает. А если векторы равны в одной системе отсчета, они равны и в любой другой. Равенство векторов означает равенство их компонент (в одной и той же системе отсчета!), так что энергия и импульс сохраняются по-отдельности.
Итак, сумма энергий до и после удара одна и та же, сумма импульсов тоже.
Перейдем в такую систему отсчета (система-2), в которой суммарный импульс равен нулю. Эта система движется относительно автобуса с какой-то скоростью v, так что он в ней обладает импульсом: таким же по величине, что и импульс мухи. В сумме нуль. После удара суммарный импульс тоже нуль, при этом сумма энергий должна тоже сохраниться.
Найти надо скорость v, при этом выполнено условие равенства нулю импульса и скорость мухи должна выражаться формулой сложений скоростей. Уравнение получается сложное, но это нестрашно.
Если скорость v определили, решение задачи очевидно: тела просто поменяют направление своих скоростей, сохранив их величины. Энергия от направления скорости вообще не зависит, а импульсы поменяют знак (сумма останется равной нулю). Итак, в системе-2 муха полетит со своей скоростью обратно, а автобус отскочит и тоже покатится обратно с той же по величине скоростью, что и была, то есть со скоростью v. То есть, если скорость мухи была u, то станет -u, а скорость автобуса из -v станет v.
Как видим, скорость мухи не стала равна скорости автобуса до удара, так как точно не выполнено равенство u=v.
Система отсчета система-2 имеет относительно исходной системы-1, в которой автобус покоился, скорость v. Чтобы перейти в исходную систему-1, надо применить релятивистскую формулу сложения скоростей.
Но давайте сначала эту скорость v приблизительно вычислим. Уравнения у нас такие:
γ(u)mu=γ(v)Mv, u=(w-v)/(1-wv),
где w — скорость мухи в исходной системе отсчета, мы ее уже нашли, это w=1-ε. Посмотрим, какую погрешность даст v=0.5 (половина скорости света). В этом случае u очень близко к 1-1.5∙10⁻¹², а γ(u)~577324. Отношение масс равно миллиону. Получим γ(v)v~0.577u. Возведем в квадрат и прибавим единицу:
1/(1-v²)~1.333~4/3, 1-v²~0.75, v²~0.25, v~0.5.
Сошлось, более или менее. Итак, скорость автобуса довольно заметная: около половины скорости света!
Скорость мухи во второй системе отсчета (относительно которой суммарный импульс нулевой) по величине равна u. Мы ее нашли: она тоже близка к скорости света. Но чуть поменьше, в первой системе (в которой автобус изначально покоился) отличие было 5∙10⁻¹³, а в это отличие около 1.5∙10⁻¹². С точки зрения "ого как быстро летит!" эта разница невелика, а вот по бюджету энергии это очень большая разница! В первом случае фактор Лоренца равен одному миллиону, а во втором 577 тысячам.
В первой, исходной системе отсчета скорость мухи после отскока, конечно, тоже близка к скорости света. Но насколько отличается? Применим формулу:
(-u+v)/(1-uv) ~ -(1 - 1.5∙10⁻¹²).
То есть скорость почти такая же. Смотреть надо не на нее, а на фактор Лоренца. А он очень близок к одной трети от миллиона. Энергия мухи была равна массе автобуса, а стала одна треть от нее. Автобус вынужден был забрать две трети своей массы в форме энергии. Проверим?
Скорость автобуса была нуль (а энергия равна массе покоя), а стала? Применим формулу:
(v+v)/(1+v²) ~ 0.8.
Неслабо так автобус отскочит! Какая у него станет энергия? Фактор Лоренца равен при скорости 0.8 близок к величине 5/3, то есть к энергии в виде массы покоя добавится еще 2/3 от нее. Все сошлось!
Ну и импульс в этой системе, был практически равен массе автобуса (это импульс мухи, у автобуса нуль), а стал равен разности между импульсом автобуса (четыре трети, энергию 5/3 умножим на скорости 4/5) и мухи (одна треть массы автобуса). Получается опять одна масса автобуса.
Давайте для полноты картины посмотрим еще с точки зрения мухи. В системе отсчета-3, в которой муха до удара покоится, ее скорость, конечно, равна нулю. Скорость автобуса близка к скорости света и равна по величине скорости w мухи (до удара) в системе отсчета-1, в которой покоится автобус. Энергия автобуса, конечно, колоссальна, но баланс соблюдается строго. Скорости после удара получим из системы-2, прибавив по формуле к обеим скоростям скорость -u. Скорость мухи станет совсем близка к скорости света: даже не так просто посчитать отличие. Соответственно, и энергия у нее будет большая.
Скорость автобуса с точки зрения мухи изначально равна -w, а после отскока вычисляется по формуле сложения скоростей -u и v, что дает очень близкое к -0.5 число. То есть, с точки зрения системы-3 автобус двигался навстречу мухе до удара и продолжил двигаться в том же направлении после. Только его скорость была близка к скорости света, а стала половина от нее. Соответственно, фактор Лоренца равен всего лишь 1.1547, то есть энергия автобуса отличается от его энергии покоя процентов на 15. А было... очень много. Эту энергию и забрала муха.
Если опять где-то ошибся — поправьте.
