Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова
01.01.01.01к Резюме
Существует множество математических проблем, имеющих большое значение для теории чисел: одна из них – гипотеза Римана, доказательство или опровержение которой будет иметь громадное значение для теории чисел, особенно для распределения простых чисел.
Риман, связав поведение дзета-функции Римана (функции комплексного переменного из области комплексного анализа) и распределение простых чисел (теория чисел из области дискретной математики), попытался применить к дискретным объектам (простые числа – объекты изучения в дискретной математике) аналитические методы из «непрерывной» математики.
Полагая, что задачу закономерности распределения простых чиселневозможно (или крайне затруднительно) решить на основе стандартного математического подхода, т.е. на основе формулировки лемм, доказательства теорем и т.д., попробуем решить данную задачу методами алгоритмической математики, т.е. решение будет представлено в виде алгоритма вычисления конкретной позиции следующего простого числа в последовательном списке натуральных чисел (или специально подобранного массива целых чисел), когда на основе предыдущих значений производится прогноз следующего значения.
Рассмотрим один из альтернативных методов поиска и нахождения закономерности распределения простых чисел среди натуральных, используя рекуррентные формулы на основе диофантовых уравнений, числа Казакова и ряды Казакова.
Получение чисел Казакова возможно как с помощью рекуррентных формул на основе диофантовых уравнений, так и путем вычеркивания из положительного натурального ряда всех чисел, делимых без остатка на 2, 3 и 5 (решето Эратосфена с фильтрацией всех чисел за исключением 1, а также простых и составных, имеющих наименьший множитель не менее 7),
Числа Казакова могут быть упорядочены и формализованы с принудительным шагом приращения, кратным 90, относительно неких базисных (исходных) чисел, в ряды Казакова, которые способны генерировать простые числа.
При шаге приращения равном 90 это базисные (исходные) нечетные числа (всего 24: 21 простое число: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, и 3 составных числа: 49, 77, 91), способные генерировать (с шагом 90) простые и составные числа Казакова (например: 19, 109, 199, 289, 379…); при этом образуются 24 последовательности (ряда Казакова) чередующихся простых и составных нечетных чисел (6 групп (в зависимости от конечной суммы цифр числа) по 4 последовательности (в зависимости от последней цифры числа), которые содержат все (!) простые числа числового ряда (кроме 2, 3 и 5).
Т.о. ряды Казакова (всегда четное число кратное 8) - числообразующие (последовательности) ряды простых и составных нечетных чисел с фиксированной величиной (шагом) приращения очередного элемента ряда, кратной 90, а также имеющие постоянную последнюю цифру числа и постоянную конечную сумму цифр числа.
Используемые для формирования рядов Казакова базисные (исходные) числа, шаг приращения, последняя цифра числа и конечная сумма цифр числа находятся в тесной взаимосвязи друг от друга; для каждого ряда (строки) Казакова на основании шага приращения, последней цифры числа и конечной суммы цифр числа можно определить базисное (исходное) число, на основании которого был образован данный ряд (строка) Казакова, а сам шаг приращения определяет три остальные характеристики ряда.
Т.о. простые и составные числа Казакова, упорядоченные в ряды Казакова с принудительным шагом приращения, кратным 90, позволяют определить следующее число Казакова (по каждому ряду Казакова) на основе предыдущего.
Среди чисел Казакова могут быть выделены составные числа Казакова, которые представляют собой результат перемножения не менее двух чисел (не равных 1) чисел Казакова (простых и составных), т.е.
Набор признаков простого числа:
- среди чисел, не являющихся числами Казакова – это 2, 3 и 5;
- среди чисел, являющихся числами Казакова – это числа Казакова (не равные 1), которые не являются произведением любых чисел Казакова (не равных 1).
Использование рядов Казакова, полученных на основе чисел Казакова с принудительным шагом приращения, кратным 90, предполагает их совместное расположение относительно друг друга с выделением не только строк, но и столбцов по каждой строке; это позволяет на основе количества простых и составных чисел в каждом n-м столбце с нарастающим итогом по всем рядам Казакова (строкам) получить количество простых чисел Казакова, лежащих в диапазоне [1 ÷ 90n], а с учетом 2, 3 и 5 (прибавив 3 к вышеуказанному количеству простых чисел Казакова) – «общее» количество простых чисел π (90n), лежащих в диапазоне [1 ÷ 90n].
Т.о., решены основные задачи, связанные с распределением простых чисел:
- получение рекуррентной формулы для возможного очередного простого числа;
- количество простых чисел π (x), не превосходящих заданной величины x:
- определен универсальный набор факторов, характеристик и условий, определяющий простоту данного числа x.
Кроме того, предложена формула для более точного приближения к реальному распределению простых чисел π(x), чем функции x/ln(x) и Li(x), а также предложена методология по решению проблемы гипотезы Римана о нетривиальных корнях дзета-функции Римана.
Ранее было выдвинуто несколько гипотез и предположений, связанных с распределением простых чисел:
- 1-я гипотеза Казакова о простых числах: если среднее число (оканчивающееся на 5 и кратное 15) равно произведению последовательных не повторяющихся нечетных простых чисел (3, 5,7,11,13,17…- среднее число кратно 15), то среди соседних нечетных чисел, последние цифры которых равны соответственно 1, 3, 7 и 9, имеется хотя бы одно простое число;
- 2-я гипотеза Казакова о простых числах: для любого натурального (положительного целого) n между n2 и (n + 1)2 существует не менее 2 простых чисел (справедливость гипотезы Лежандра);
- 3-я гипотеза Казакова о простых числах: разность между двумя соседними простыми числами p (k+1) и p (k), лежащими в диапазоне между n2 и (n + 1)2 , (т.е. образованном квадратами двух соседних n и (n + 1) натуральных положительных целых чисел), не превосходит значения наименьшего из этих двух натуральных положительных целых чисел.
Данные гипотезы и утверждения могут быть использовано при поиске простых чисел большой размерности;
Предпринята попытка доказать справедливость бинарной проблемы Гольдбаха для диапазона 4÷2x на основании равенства общего количество четных чисел, лежащее в данном диапазоне, и общего количества не повторяющихся сумм от сложения простых чисел, лежащих в этом же диапазоне.
Предложен альтернативный способ решения проблемы распределения простых чисел среди натуральных путем путем анализа точек и линий пересечения значений правой и левой частей соответственно тождества Эйлера с действительной переменной s = σ и тождества Эйлера-Римана-Казакова с комплексной переменной s = σ + it
Предложен вариант реализации идеи национальной криптовалюты – цифрового аналога официальной валюты страны, функционирующего на базе блокчейна или другой криптотехнологии, и использующего для подтверждения блока (завершение работы) местоположение очередного простого числа (и само простое число) «внутри» выбранного ряда Казакова, способного генерировать простые числа.
Предложенные методы позволят в будущем избежать вычислительной сложности при факторизации с полиномиальной сложностью (до появления квантового компьютера, использующего алгоритм Шора) и могут быть использованы при решении некоторых открытых проблем в теории чисел.
Практическое применение:
1. Практическое приложение к гипотезе Римана (одна из Millenium Prize Problems института математики Клея);
2. В компьютерной криптографии (например, RSA — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел), использующей большие простые числа;
3. В системах подтверждений блока (работы) криптовалют при использовании простых чисел в качестве доказательства работы (primecoin и др.);
4. При реализации идеи национальной криптовалюты – цифрового аналога официальной валюты страны, функционирующего на базе блокчейна или другой криптотехнологии, и использующего для подтверждения блока (завершение работы) местоположение очередного простого числа (и само простое число) «внутри» выбранного ряда Казакова, способного генерировать простые числа.
5. По алгоритму Шора (последовательная разбивка составного числа на простые сомножители) работают все банковские карточки, электронные переводы для защиты от взлома и т.д..
6. Простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел потенциал простые числа необходимы для компьютерной коммуникации, для повседневного использования интернета.
Определенные аспекты теории чисел и простых чисел выходят далеко за рамки науки и компьютеров. В музыке простые числа объясняют, почему некоторые сложные ритмические рисунки долго повторяются. Это порой используется в современной классической музыке для достижения специфического звукового эффекта. Последовательность Фибоначчи постоянно встречается в природе, и есть гипотеза о том, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества. Также предполагается, что передача простых чисел по радиоволнам была бы лучшим способом для попытки установления связи с инопланетными формами жизни, поскольку простые числа абсолютно независимы от любого представления о языке, но при этом достаточно сложны, чтобы их нельзя было спутать с результатом некоего в чистом виде физического природного процесса.
Дальнейшие работы по данной проблеме (выявление вышеописанных закономерностей) требует финансирования работ, больших вычислительных мощностей (как hardware(мощная компьютерная техника), так и software(разработка и программирование), которые у автора отсутствуют.
