Распределение простых чисел Числа и ряды Казакова
01.01.01.01е. Графическое представление чисел Казакова и распределения простых чисел
Для наглядного графического представления чисел Казакова (все простые числа кроме 2, 3 и 5) в трехмерной системы координат(x, y, z) на плоскости x, y построим окружность радиуса r (a) с центром в (0, 0) и разделим окружность на 90 равных частей, а затем на основе окружности построим цилинр с осью из точки (0, 0). Из точек на окружности, соответствующих значениям базисных (исходных) нечетных чисел (21 простое число: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, и 3 составных числа: 49, 77, 91) проведем оси-образующие цилиндра , на которых отложим значения, соответствующие неповторяющимся числам Казакова для каждого ряда Казакова, образованного от соответствующих значений базисных (исходных) нечетных чисел; последовательно плавно соединив отмеченные числа Казакова в порядке возрастания получим восходящую винтовую линию (спираль), закрученную по часовой стрелке (или против – в зависимости от первоначальной разметки окружности), с принудительным шагом, кратным 90.
Используя вышеизложенную методику получения составных чисел Казакова как результат перемножения двух других чисел Казакова (как простых, так и составных, но не равных 1), можно выделить внутри рядов как простые, так и составные числа, а переход от одного числа Казакова к другому на образующих цилиндра может осуществляться не только последовательно по «возрастающей» спирали, но и «скачками», используя положения теории графов, поскольку каждое нечетное составное число (в нашем случае, начиная с 49) может быть представлено:
- либо в виде суммы трех нечетных простых чисел;
- либо в виде произведения двух и более простых нечетных чисел;
В общем случае, все числа рядов Казакова, в том числе простые числа Казакова, могут быть представлены в виде винтовой линии (спирали) Казакова, являющейся цилиндрической винтовой линией (кривая в трехмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре, и пересекающая образующие под одинаковым углом), которая может быть задана в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:
t → (a*cos(t), a*sin(t), b*t),
или в привычной записи для трехмерных координат:
x(t) = a*cos(t),
y(t) = aε*sin(t),
z(t) = b*t, где
a, b – вещественные константы, не равные нулю;
ε - равно 1 (правая спираль) или -1 (левая спираль).
В цилиндрических координатах параметрические уравнения имеют вид:
r = a;
θ = εt;
z = bt;
Проекция цилиндрической винтовой линии (спирали) Казакова на плоскость x, y представляет собой окружность, а хиральность винтовой линии (спирали) Казакова определяется разметкой этой окружности (по часовой стрелке или против); при этом коэффициент b {\displaystyle b}в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен для «правой» винтовой линии (спирали) Казакова и отрицателен – для «левой».
Винтовая линия (спираль) Казакова имеет ось, радиус a и шаг 90n=2 πb.
Если представить, что винтовая линия (спираль) Казакова нанесена на некий цилиндр вращения, то ось этого цилиндра является и осью спирали, а радиус этого цилиндра (и его проекции на плоскость x, y) является радиусом спирали.
Шаг (кратный 90) винтовой линии (спирали) Казакова – геометрическое расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра, исходящей из точек разметки (соответствующих нечетным базисным (исходным) числам рядов Казакова) на окружности – проекции цилиндрической винтовой линии (спирали) Казакова на плоскость x, y:
2* π* b
Винтовая линия (спираль) Казакова является линией откоса, т.е. касательные к ней образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением; также имеются (cпостоянным отношением в любой точке) кривизна C и кручение S:
C = (|a|)/(a² + b²);
S = (b)/ (a² + b²);
Геликальный угол Φ между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке:
Φ = arctan (b/a)
Элемент длины dL:
dL = dt*√ (a² + b²);
Длина дуги окружности l с радиусом a и шагом 2 πb, взятая между параметрами t1 и t2 , равна:
l (t1, t2) = c* |t2 - t1|
где c² = a² + b²;
01.01.01.01ж Оценка для значений простого числа p (k) и функции распределения простых чисел π (x):
1. Одна из оценок для простого числа с номером n:
k*ln(k) + k*ln(ln(k)) – 3/2*k < p (k) < k*ln(k) + k*ln(ln(k))
оценка верна для всех k, начиная с 6.
2. Формула для функции распределения простых чисел π (90*n) для чисел, кратных90 (т.е. содержащих «внутри» 24 числа Казакова):
90*n /ln(90*n) < π (90*n) < 1,25506 * (90*n /ln(90*n)) или
90*n / (ln(90) + ln(n)) < π (90*n) < 1,25506 *(90*n /(ln(90) + ln(n)), где ln(90) = 4,49981
и
90*n /ln(90*n) < π (90*n) < 90*n / (ln(90*n) - 1.08366) или
90*n / (ln(90) + ln(n)) < π (90*n) < 90*n / (ln(90) + ln(n) - 1.08366)
3. Интегральный логарифм li(90*n) дает более точное приближение к значению π (90*n), чем 90*n /ln(90*n).
При справедливости гипотезы Римана имеет место равенство:
π (90*n) = li(90*n) + O*(√x ln² (90*n)), где
O – математические обозначения для сравнения асимптотического поведения (асимптотики) функции (характер изменения функции при стремлении её аргумента к определённой точке).
При этом нет необходимости использовать сдвинутый интегральный логарифм Li(90*n) = li(90*n) – li(2) (для устранения сингулярности), поскольку 90*n не может быть равно {\displaystyle x=1} 1.
При этом также выполняется действие при достижении числа Скьюза:
для не слишком больших n (90*n) имеет место неравенство:
π (90*n) < li(90*n),
однако при некотором достаточно большом n (90*n) неравенство меняет знак.
Еще более интересная картина наблюдается при замене в вышеуказанных формулах значения 90 на соответствующее ему значение чисел Казакова, равное 24 (лишь необходимо учесть числа 2, 3 и 5, а также 1).
