Разберём несложную геометрическую задачу из пробного варианта ЕГЭ.
Тем, кому нужно чисто решение – могут сразу переходить к последнему разделу «Решение» . Разделы «Рассуждаем» и «План решения» будут интересны тем, кому важно понять, как мы нашли путь к ответу.
Условие
В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, AB = 13, тангенс A = 5. Найдите ВН.
Рассуждаем
Найдём цепочку соотношений, которые бы связали известные и неизвестные величины.
В данном случае, имеется прямоугольный треугольник и тангенс одного угла в нём. А найти требуется часть гипотенузы. Вспоминаем свойства прямоугольных треугольников и тангенса.
Нам пригодится свойство «тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему». В данном случае угол A входит в два прямоугольных треугольника – в ABC и в AHC. В первом треугольнике тангенс связывает две неизвестных нам стороны, и мы не приближаемся к решению. Во втором треугольнике тангенс связывает часть известной стороны и неизвестную высоту. То есть, неизвестных по-прежнему, два, но одно из них является частью известного основания AB. Если удастся как-то связать (другим способом) высоту и оставшуюся часть основания AB, то эти два способа дадут нам систему из двух уравнений с двумя неизвестными, из которых мы сможем найти требуемое.
Для этого необходимо вспомнить признаки подобия треугольников. В частности, подобие прямоугольных треугольников по острому углу. Угол B является общим для треугольников ABC и CBH. А в подобных треугольниках все углы соответственно равны. То есть, угол HCB равен углу CAB, и его тангенс (отношение катетов BH и HC) также равен 5. Следовательно, мы можем получить систему двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых будет равно искомой величине BH.
План решения
Неизвестными являются искомая длина BH а также высота CH.
Прямоугольные треугольники ABC и CBH подобны по общему углу B. Следовательно, тангенсы (отношение катетов) соответствующих углов равны.
В первом уравнении мы выразим первый тангенс в треугольнике AHC, во втором – второй тангенс в треугольнике CBH.
При этом учтём, что нам известна сумма катетов AH и HB, она равна основанию AB.
Решим систему уравнений, и получим неизвестные величины.
Решение
Прямоугольные треугольники ABC и CBH подобны по общему углу B. Следовательно, угол CAH равен углу HCB, и их тангенсы равны.
Катет AH равен разности основания и искомой длины BH. То есть: AH=AB-BH=13-BH
Составляем систему уравнений. В первом уравнении выразим тангенс CAH, во втором - тангенс HCB:
Решаем:
Примечание. Из-за ограничений Дзена не получается красиво оформлять решение. Поэтому я предлагаю скриншот из редактора. Для удобного восприятия это лучше всего. Однако, для копирования и использования в других документах лучше иметь нормальный DOCX формат. Дзен не позволяет прямо к статье прикрепить файл. Над решением этой небольшой проблемы я подумаю. Пока что желающие получить статью в DOCX формате - могут обращаться в комментариях.