Продолжаем разбирать тему гравитационного замедления времени. Есть один тонкий момент, а именно: часы, неподвижно расположенные в однородном гравитационном поле, показывают одно и то же время, или одни отстают?
Поле тяготения планеты ослабевает по мере отдаления от центра, это понятно. И часы далеко в космосе могут быть почти не подвержены тяготению. В принципе, все мы находимся в поле тяготения всех звезд Вселенной, но они на нас особенно не влияют.
Но вот поле тяготения, обусловленное переходом в равномерно ускоренную систему отсчета, не ослабевает. И возникает вопрос: а часы на носу космического корабля и на его корме, у них как с синхронностью?
Давайте рассмотрим яхту космического пирата Сильвера. Рубка на корме, спальня на носу. В спальне девушка Сильвера, сам он в рубке. Корабль ускорен; чьи часы идут медленнее?
Часы Сильвера. Потому что он находится в гравитационном поле ниже, чем девушка. Она знать не знает, что на корабле, и искренне верит, что корабль стоит на планете. Сильвер, по ее понятиям, находится внизу, так что его часы идут медленнее.
В слабом поле формула замедления времени сводится к разности потенциалов, замедление времени пропорционально 1+Ф, где Ф — как раз разность потенциалов. Наверху потенциал больше, внизу меньше, так что разность положительна и часы девушки идут быстрее.
Что такое потенциал? Это способность поля совершать работу. Работа — изменение кинетической энергии тела. То есть, изменение квадрата скорости (в классическом приближении).
Например, потенциал вблизи Земли gh (масса для простоты единица), где h — высота. Нам важен перепад высот, так что что там принято за нуль — неважно. При падении на расстояние h тело наберет скорость √(2gh).
Теперь посмотрим с другой стороны. Кораблик Сильвера ускоряется с ускорением g. Расстояние h он пролетит за время √(2h/g), ведь расстояние при равноускоренном движении есть gt²/2. За это же время корабль наберет скорость gt=√(2gh). Тот же ответ.
Итак, потенциал разный в рубке и каюте, так что разность ненулевая и, следовательно, часы идут по-разному.
Что, если вдоль корабля идет коммуникационная шахта и девушка может сбросить Сильверу заколку, подавая недвусмысленный сигнал? С ее точки зрения, заколка падает под действием силы тяжести. Сильвер же знает, что заколка, освобожденная от действия ускоряющей корабль силы, просто летит по инерции с той скоростью, которую имел корабль и всё в нём в тот момент. Но корабль (и всё в нём) продолжает ускоряться, и смещаться вперед относительно заколки. Корма корабля к ней приближается, догоняет.
Сильвер может поймать заколку и бросить ее вверх, обратно девушке. Если девушка ее не подхватит, она (заколка) свалится обратно. Сильвер видит это так: он дал заколке некоторую скорость относительно корабля, и она стала обгонять корабль, приближаясь к его носу. Но корабль ускоряется, и скоро скорости сравняются. Потом заколка начнет отставать и опять-таки корма корабля будет к ней приближаться. Либо девушка подхватит заколку, начав ускорять ее, либо заколка упадет опять на корму.
В любом случае заколка — инерциальная система отсчета. Встроенные в нее часы измеряют время. Сравним их показания с часами девушки и с часами Сильвера.
Скорость заколки относительно ее системы отсчета, конечно, нулевая. В первом случае (заколка сброшена из каюты вниз) скорость корабля относительно заколки тоже нулевая. Ускорение корабля g. Уравнение движения Сильвера в системе отсчета заколки такое:
h=gt²/2.
Мы полагаемся на классический закон сложения скоростей, полагая, что ускорения и относительные скорости не слишком велики.
Расстояние H между каютой и рубкой он пролетит за время T=√(2H/g). Собственное же его время есть интервал, который считается по формуле
ds² = dt² - dh² = dt² - (gtdt)² = (1-g²t²)dt², c=1
Здесь придётся вычислить интеграл от √(1-g²t²)dt от 0 до T. Но и так ясно, что это меньше, чем dt.
Мы хотим сравнить ускоренные часы девушки и Сильвера. Встретиться они никак не могут, но могут использовать заколку как эталон. Она же инерциальная. Но дело в том, что заколка не может попасть к Сильверу с нулевой скоростью. И даже меньше некоторой скорости иметь не может. Точнее, разность скоростей в момент, когда Сильвер заколку поймал и в момент, когда она пролетела мимо девушки в направлении вниз, всегда одна и та же.
Можно считать, что девушка выпускает заколку с нулевой скоростью, а Сильвер ловит с той, какую она набирает. А раз Сильвер относительно заколки движется, а девушка нет, то и часы этих двоих идут относительно заколки по-разному.
Отсюда один шаг до задачи с двумя кораблями и веревкой. В другой раз мы ее разберем.
