Экспоненциальный закон и некоторые его свойсива.

В прошлой публикации "Эффект пещерного человека" я упомянул экспоненциальный закон. Поскольку он используется для описания многих физических, социальных, финансовых и других процессов, хотелось бы на нем остановится по подробнее.

Экспериментальный закон выражает зависимость между двумя величинами экспериментальной или показательной функцией, которую можно записать следующей общей формулой:

где x и y – переменные; a>0 – основание степени; b – коэффициент при показателе степени

В физике процессы сводятся к показательной функции с основанием e:

где e=2.71828... – иррациональное число основание натурального логарифма

Общую форму показательной функции можно провести к показательной функции с основанием e c помощью следующего преобразования:

Прежде чем рассмотреть график показательной функции, следует вспомнить еще одно тождество из школьного курса:

На рисунке Iприведен график приведен график при a>1 и b>0 или при 0<a<1 и b<0. Согласно последнему тождеству, показательные функции:

идентичны.

На втором рисунке II – график показательной функции при a>1 и b<0 или 0<a<1 и b>0. При этих условиях показательные функции так же идентичны.

График экспоненциальной или показательной функции: I - при a>1 и b>1 или 0<a<1 и b<0; II - при a>0 и b<0 или 0<a<1 и b>0

Из рисунка видно:

1. При a>1 и b>0 или 0<a<1 и b<0 показательная функция возрастает при отрицательных аргументах довольно медленно, а при положительном - возрастает с ростом аргумента все стремительнее и стремительнее. И границы этого возрастания нет.
2. При a>1 и b<0 или 0<a<1 и b>0 показательная функция убывает причем при возрастании аргумента скорость убывания уменьшается и при положительных значений вообще уменьшается, приближая значения функции к нулю, но нигде функция не имеет нулевого значения.

Так как при любом основании a>0 показательные функции при нулевом аргументе равны единицы то все графики этих пересекает ось ординат в точке (0: 1).

Давайте составим таблицу 10 целых положительных значений аргумента, начиная с единицы, следующей показательной функции при основании равным 2 и 3

Таблица значений показательной функции по основанию 2 и 3 и b=1 при целых аргументов от 1 до 10

При сравнении значений аргумента и значений функции можно заметить, что разность значений каждый следующий промежуток значений в два раза при основании степени 2, и в три раза при основании степени 3 больше предыдущего, если значения аргумента распределены равномерно.

Если обобщить полученные наблюдения то, можно заметить, что для показательного или экспоненциального возрастающего закона должно наблюдаться следующее: для любого отрезка разность значений будет в одно и то же количество раз больше такого предыдущего отрезка, конец которого совпадает с началом рассматриваемого отрезка. Причем эта закономерность наблюдается везде, где определена функция.