Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье мы с Вами продолжим обучение. Итак, в эфире дисциплина элементарная математика. Тема на сегодня: производные. Что такое производная? Это понятие, как и интегралы, возможно многим не понятно. Производная – это скорость изменения функции в определенной точке. Объясняю более подробно. У нас имеется некоторая функция, то есть по-простому – линия, построенная в некоторой зависимости от значения икса. Когда мы говорим про зависимость одного значения от другого, то подразумеваем, что строим точку на плоскости X0Y так:
Производная показывает во сколько раз изменение (приращение) координаты игрек больше или меньше, чем приращение координаты по оси 0Х. То есть:
Ну что, закрепим на примере? Пусть у нас имеется функция y(x)=x. Построим график этой функции:
Пусть dx=1. Из графика мы видим, что функция изменяется линейно, то есть каждому приращению dx соответствует приращение по игреку равное единице (dy=1). Ищем производную:
Мы получили результат единицу. Из этого мы делаем вывод, что скорость роста функции совпадает со скоростью роста иксовой координаты. А теперь вспомним статью, в которой мы говорили об интегралах и вычисляли вот такой интеграл:
В чем связь между отношением приращений и площадью под кривой? Связь довольно простая. Запишем формулу (2) с учетом формулы (1):
Получаем, что интеграл от производной функции – это сама функция. То есть площадь под кривой, образованной этой функцией, зависит от производной вот так:
Объясняю на «пальцах»: предположим мы едем на авто из одного города в другой за каждые два часа, в среднем, мы проезжали 180 км. Всего мы ехали 8 часов. Итак, время – это икс. Час мы берем за dx. Расстояние, проеханное за этот час, мы берем за dy. Определим производную:
Правильно. Производная пройденного расстояния по времени – это скорость. Теперь определим значение функции в конечной точке:
Мы получили пройденное расстояние. Искать интеграл от функции f(x) смысла нет, так как мы получим километрочасы, а употреблять такую величину можно только при поиске среднеквадратического значения расстояния (то есть берем корень от произведения километрочасов на скорость движения).
Ладно. С примером разобрались. Теперь нужно понять зачем нам нужны производные. Производная показывает отношение приращении функции к приращению переменной. Из примера с f(x)=x мы знаем, что производная такой функции равна единице. Мы назвали такую зависимость икса от игрека линейной. А что если функция достигла своего максимума или минимума и в этой точке ни растёт, ни уменьшается? Всё просто, приращение по игреку в таких случаях равно нулю, не так ли?
Точки, в которых функция перестаёт изменять значение своего приращения называются точками локального экстремума. Возьмём для примера нашу многострадальную функцию y=f(x). Пусть теперь у нас зависимость будет квадратическая, то есть:
Определим точку локального экстремума функции. Для этого находим её производную и приравниваем её к нулю:
Производную нашли. Теперь внимательно анализируем полученное значение: отношение приращения игрека к приращению икса равно не двум, а двум иксам. То есть если икс равен нулю, игрек равен нулю, икс приобретает приращение dx=2, то есть становится двойкой, а игрек в это время приобретает приращение dy=2х, то есть игрек становится равным у=0+2х=4, двигаемся дальше, увеличиваем икс на два, х=2+dx=4, приращение по игреку в это время становится равным dy=4+2x=4+8=12, а сам игрек становится равным шестнадцати. Смотрим на рисунок:
Но мы отвлеклись, ищем экстремум:
То есть в точке с координатами (0;0) находится точка локального экстремума. Здесь приращение функции не растёт и не уменьшается.
Давайте рассмотрим ещё несколько функций. И первая на очереди игрек равная корень из икс:
Ищем производную. Пусть значение икс изменяется на значение dx, значение игрек, соответственно – на dy. Рассмотрим значение функции при х=dx, то есть при смещении икса от нуля в точку координатами (dx;y). Смотрим на рисунок:
Вычисляем значение функции в этой точке:
Теперь смещаемся по оси 0Х еще на одно значение dx:
Теперь нужно найти новые значения икса и игрека:
Для удобства давайте назовём координаты первой точки (x1;y1), а координаты второй точки (x2;y2):
Находим приращение по игреку:
Теперь находим производную:
Мы получили зависимость приращения игрека от приращения икса. Определим зависимость производной от просто икса. Для этого преобразуем нашу функцию следующим образом:
Поздравляю, мы нашли формулу для поиска производной функции игрек равное корень из икс. Давайте теперь определим точки экстремума этой функции. Приравниваем производную к нулю:
Отсюда следует вывод, что экстремумов функция не имеет. Рассмотрим еще один случай: пусть y=f(x)=const.
Думаю вы уже поняли, чему равна производная. Функция у нас константа. Это значит, что приращений по игреку на всей области построения нет и быть не может, то есть dy=0. Отсюда делаем вывод: производная от константы – нуль. В таком случае, первый интеграл от нуля – функция y=const, а площадь под прямой мы можем найти только при повторном интегрировании. Для закрепления пройденного материала давайте рассмотрим еще одну функцию:
Для тех, кто не помнит, логарифм – это показатель степени. Чтобы легко понять его смысл нужно посмотреть на следующее выражение:
То есть, логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число под логарифмом. В данном случае, чтобы получить четыре (число под логарифмом) нам нужно двойку (основание) возвести во вторую степень. Однако, вернемся к производным. Построим график логарифмической функции.
Для того, чтобы понять, как найти производную этой функции рассмотрим парочку других функций. Одна из них – экспонента в степени икс:
График этой функции приведен на рисунке 7.
Иными словами наша функция выглядит следующим образом:
У экспоненты существует собственный логарифм – натуральный:
Преобразуем наше выражение в обратную зависимость:
Делаем теперь приращение по иксу:
У натурального логарифма имеется ещё одно свойство: отношение натуральных логарифмов равно логарифму по основанию равному подлогарифмическому числу первого натурального логарифма и подлогарифмическим числом таким же как у второго. Лучше посмотреть на формулу, воспринимается гораздо легче:
Логарифм в знаменателе – константа, так как он не зависит от икса. Поэтому мы можем вынести его за знак производной:
Мы нашли отношение приращения по игреку к приращению по иксу. Теперь определим влияние на это отношение значения икс:
Таким образом, мы с Вами нашли формулу для определения производной функции логарифма в определенной точке. Аналогично, можно вывести формулу определения производной натурального логарифма: мы просто убираем один лишний натуральный логарифм из отношения логарифмов. Ниже я привожу некоторые формулы для поиска производных функций.
Сегодня мы вспомнили, что такое производные и для чего они нужны. Самостоятельно вывели несколько формул для поиска производных. Я постарался объяснить весь материал очень простыми словами. В следующей статье я также просто расскажу Вам о некоторых химических реакциях. Если моя статья была Вам полезна, поставьте лайк и подпишитесь на канал, я буду знать, что кому-то помог. Спасибо, что читаете! Удачи!
