Взглянем на задачу:
Небольшой, безобидный пример. Дети обязательно спросят, что там за три точки. Они отвечают за бесконечность. То есть известно с чего пример начинается и чем заканчивается. Но что происходит в центре? Бесконечное число повторений. Это значит, что невозможно точно сказать, сколько квадратных корней в этом примере. Любое количество.
И как решать примеры, в которых скрыто бесконечное число примеров? Можно рассмотреть частные случаи. Например:
Мы уже знаем, что последнее неравенство верное. Все переходы равносильные, а значит можно вернуться обратно.
Продолжим? Сколько частных случаев нужно рассмотреть, чтобы убедиться в справедливость равенства? Правильный ответ: это не важно. Достаточно всего одного контр примера, чтобы опровергнуть утверждение. Поэтому так просто спорить с людьми утверждающими, что все люди… Найдите одного человека, который так не делает и вы выиграли.
Так что же делать с нашим примером? Просто поверить?
Ответ кроется в пятой аксиоме Пеано:
Индукционный переход то, чего не хватает в простом переборе частных случаев. С его помощью можно дойти до любого числа. В нашем примере до любого числа корней. Эта аксиома нужна, чтобы определять множество натуральных чисел. На ней основан метод доказательства по индукции. Законность этого метода, кстати, доказана. Поэтому можно использовать его без сомнений.
Доказательство по индукции можно применять к огромному спектру задач. Например, к геометрическим.
Доказательство.
Числа Фибоначчи:
База индукции. Если n = 1, разрезаний будет F₂ = 1, так как прямоугольник уже будет размером 2 ⨯ 1. Если n = 2, может быть два варианта разрезания, то есть F₃.
Индукционный переход. Пусть для прямоугольника 2 ⨯ n существует Fₙ₊₁ способов разрезаний. Рассмотрим прямоугольник размером 2 ⨯ (n+1). Первый очевидный ход - отделить крайний правый прямоугольник. Так, чтобы остался прямоугольник размером 2 ⨯ n. Для него есть Fₙ₊₁ способ.
Тогда остаётся неучтенный вариант, когда крайний правый прямоугольник разрезали вдоль. Поэтому отрезаем квадрат 2 ⨯ 2 и разрезаем его вдоль.
Оставшаяся часть это прямоугольник размером 2⨯ (n-1). Для него есть Fₙ способов разрезания. Тогда количество разрезаний для исходного прямоугольника будет равно:
Что и требовалось доказать.
Индукцию следует применять с осторожностью. Иначе можно доказать что угодно. Например, что любые n точек лежат на одной прямой.
База индукции. Для n = 1 и n = 2 это очевидно.
Индукционный переход. Пусть n точек лежит на одной прямой. Докажем, что n + 1 точка тоже лежит на одной прямой.
Очевидный шаг исключить одну точку из рассмотрения. Назовем ее X. По предположению индукции оставшиеся точки лежат на одной прямой. Теперь вернем X в набор, но отбросим другую точку - Y. Опять получилось n точек и все они также лежат на одной прямой. Причем это одна и та же прямая, так как она проходит через те точки, которые постоянно были в наборе. А значит любые n точек лежат на одной прямой.
Такие доказательства можно предлагать детям, для тренировки критического мышления. Найдете, где ошибка в доказательстве?