Математика по расписанию!
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, Вам будет интересно узнать, какое открытие великий Архимед из Сиракуз считал своим самым значимым на полях математики. Я уже писал про аксиому Архимеда - в целом очень важное утверждение, определяющем, если так можно сказать, структуру пространства, в котором мы живём.
Однако сегодня речь пойдет о более насущной вещи - объеме шара. Именно нахождение этой формулы, Архимед считал своим главным успехом в математике. Давайте посмотрим, как он это сделал. Поехали!
Доказательство по большей степени визуальное, и для него на потребуется детская игрушка, а именно пирамидка!
Только нам понадобится три таких пирамидки: одну мы соберем в форме "конуса" ( от колечка с самым большим радиусом в основании), второе соберем в форме "полусферы": в кавычках, потому что все они становятся такими в предельном случае. Из колечек третьей пирамидки мы составим цилиндр:
Будем считать, что все пирамидки состоят из одинаковых по толщине колечек и посчитаем объем одного конкретного колечка, находящегося на высоте h от основания:
Казалось бы, ничего такого! Но на самом деле магия начнется, когда Вы, посмотрев на картинку, поймете, что сумма объемов колечек полусферы и конуса равна объему колечка цилиндра на той же высоте.
Это легко проверить алгебраически:
А теперь ключевое рассуждение Архимеда:
Суммарный объем на каждой чае весов равен. Если δ сделать как можно более маленьким, то "конус" станет неотличим от настоящего, гладкого конуса, "полусфера" - от настоящей, гладкой полусферы. Цилиндр же останется таким, какой он есть, без всяких кавычек.
А значит, мы можем использовать известные формулы объема цилиндра и пирамиды (кстати, Архимед тоже их вывел) для вычисления объема шара:
Идеальное и наглядное решение этой геометрической задачки! Напомню, что при её решении Архимед использовал метод исчерпываний, который разработал его учитель Евдокс. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!