Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про замечательную геометрическую конструкцию, названную кругами Форда в честь американского математика Лестера Форда старшего.
Судя по докторской диссертации на тему "Рациональные приближения к иррациональному комплексному числу", увлечение Форда рациональными дробями было всепоглощающим.
Неудивительно, что в один прекрасный момент математик решил пойти по пути Аполлония Пергского и поиграться с взаимно касающимися друг друга окружностями.
Форда заинтересовали особые окружности - те, у которых радиусы и центры на плоскости выражаются через определенного вида дроби:
Расшифровываю:
- p,q - целые неотрицательные числа, p меньше q.
- центры окружности O имеют соответствующие координаты;
- наибольший общий делитель p и q равен 1 - это значит, что дробь не сократима.
Что же получится, если рассмотреть все такие возможные дроби?
Оказывается, что каждой дроби соответствует т.н. "окружность Форда":
На рисунке выше показаны первые шаги построения этих окружностей:
- окружности слева соответствуют значения p = 0, q=1;
- окружности справа p=1, q=1 - единственный случай, когда p=q;
- окружности по центру - значения p=1, q=2...
Продолжая данное построение мы будем получать некое "замощение" плоскости такими окружностями.
Например, на 5 шаге это будет выглядеть следующим образом:
Если выписать в порядке возрастания все радиусы окружностей Форда для этого случая, то получим уже известную нам последовательность дробей Фарея:
О них я уже достаточно подробно рассказывал в своём недавнем материале.
Два разных круга Форда либо не пересекаются, либо касаются друг друга. Из рисунка видно, что площадь всех кругов Форда явно меньше единицы и, что замечательно, поддается вычислению аналитически: она равна примерно 0,872.
Как обычно, у кругов Форда есть обобщение на трехмерное пространство. Единственное отличие в том, что обычные рациональные числа заменены рациональными числами Гаусса, о целых собратьях которых я уже писал на очень простом языке. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!