Математика гравитационного линзирования

Привет, коллеги, давайте попробуем вычислить, как гравитация искривляет свет. Начинается история с метрики Шварцшильда.

Это решение уравнения ОТО в вакууме вокруг для центрально-симметричной массы, и оно хорошо годится для расчета траекторий легких тел или световых лучей вблизи звезд, планет, галактик, скоплений и тому подобных объектов.

Решение это получается не очень сложно, но с небольшой технической возней. Метрика имеет вид

Координаты аналогичны полярным, r не непосредственно расстояние до центра, но близко к тому. Гравитационную постоянную обозначили G, а М — масса. Если ограничиться плоскостью, можно считать θ=0.

Далее, надо записать уравнение геодезической линии. Имея метрику, это сделать несложно, но тоже не без некоторой возни. Для светоподобной геодезической получается уравнение

а σ=1/r.

Интересно, что если пренебречь нелинейным слагаемым (а оно мало в случае слабых полей), то решением будет σ(φ) = Acosφ+Bsinφ, а это легко свести к Ax+By=1, то есть к уравнению прямой, если вспомнить связь между полярными и декартовыми координатами. То есть луч приближенно распространяется по прямой. Можно без ограничения общности считать B=0: это вопрос выбора направления оси х.

Теперь вместо σ в квадрате подставим найденное решение (в квадрате). Это приближение, которое оправдано в случае слабого поля. Уравнение остается линейным и можно найти его решение. Технические подробности опускаем. Для отклонения луча получается величина

Чем больше масса линзы и чем ближе к ней проходит луч, тем сильнее искривление. У Эддингтона R был радиусом Солнца, и то отклонение получилось крохотным. Масса Солнца 2∙10³⁰кг, радиус около 700 млн м, G=6.67/1011м³/кг/с², c=300 млн м/с. Собираем и получаем 8.47/10⁶ радиан. В градусах это 0.0004855, а в секундах 1.75''.

Схема сильного линзирования. Мы смотрим из точки О. Слева обозначены расстояния. Линза L искривляет луч от объекта S. Мы видим два изображения, S₁ и S₂. Считаем, что луч искривляется "скачком": приближение "тонкой линзы". Расстояние ξ у нас R. Из [1].

Теперь смотрим на рисунок: из него ясно, что β = θ - α. У Петтини под это подводится некоторое тригонометрическое рассуждение, но я думаю, это для того, чтобы можно было рассмотреть трехмерный случай. У нас пока все четыре объекта — линза, источник света, его изображение и наблюдатель — находятся на одной плоскости. В общем случае это не так и вместо углов некоторые вектора — но уравнение такое же.

Впрочем, кое-что нам понадобится, а именно: при малых углах можно записать связь

Если источник прямо за линзой, то есть β=0 и R=D(L)θ, то мы приходим к

У полученного углового размера нет выделенного направления, поэтому в идеальном случае точечного источника и точечной линзы получается кольцо. Почти идеальные кольца известны. А этот угловой размер называется радиусом Эйнштейна.

Радиус Эйнштейна еще и определяет тип линзирования. Если β меньше него или примерно равно, то линзирование сильное, а если больше, то увеличение и искажение объекта будут слабыми. Кроме того, этот же масштаб (удвоенный) определяет, будет ли несколько изображений, или только одно, более или менее искаженное.

Давайте прикинем численную величину. Пусть линза на полпути, тогда LS=L и квадрат радиуса равен 4GM/(c²D). Точно как для Солнца, только теперь это квадрат радиуса, а расстояние не от линзы до траектории луча, а от объекта до нас. Сходная формула, но смысл иной!

Масса галактики порядка 10¹² солнц, расстояние гигапарсеки, то есть миллиарды световых лет, а один св.год равен примерно 63 тыс астрономических единиц (Æ, расстояний от Земли до Солнца). То есть расстояние порядка 10¹⁴Æ. В радиусах Солнца еще раз в 200 больше, то есть порядок уже 16-ый.

В итоге получается на четыре порядка меньше, чем в задаче Эддингтона, но надо еще извлечь корень. Там получилось около 9/10⁶, корень даст 0.003. И еще два порядка скинем: 3/10⁵ радиан. То на то и выходит (6''), и получается радиус Эйнштейна тоже порядка единиц угловых секунд.

Для скоплений галактик посчитайте сами, Петтини приводит оценку в десятки угловых секунд. Для звезд же массы порядка солнечной, а вот расстояния большие. В итоге получаются тысячные доля угловой секунды, потому такое линзирование (звезда со звездой) и называется микролинзированием.

Можно выразить угол β через радиус Эйнштейна:

и решить квадратное уравнение для θ:

Отсюда следует, что точечный источник порождает пару изображений, одно внутри кольца Эйнштейна, другое снаружи. По мере отдаления источника от линзы (то есть по мере увеличения β), одно изображение приближается к линзе и становится невидимо, а другое приближается в истинному положению источника и перестает искажаться.

Несколько источников показаны цветными квадратиками и рыжим большим кругом в центре. Линза - черный кружок в центре. Кольцо соответствует рыжему источнику, но играет роль и для остальных. Их изображения показаны кружками того же цвета, что и источник.

Продолжим скоро.

Изложение следует лекциям Петтини.