В прошлом году мы выложили несколько блоков видео на тему параметров.
В них мы рассмотрели построение графиков и множеств точек на плоскости (особенно много внимания уделили модулям) и разобрали некоторые вводные задачи на понимание параметров.
Спустя год по опыту использования стало понятно, что даже такие в целом несложные базовые задания для части учеников остаются довольно трудными.
Связано это с тем, что ещё до начала целенаправленной работы с параметрами нужно знать некоторые базовые вещи, которым в школьной программе уделяют недостаточно внимания. Задач с параметрами практически нет в школьных учебниках для обычных классов. И старшекласснику, который только в 10-11 классе приступил к знакомству с ними, порой бывает очень трудно самостоятельно разобраться.
Дело осложняется ещё и тем, что задачи с параметром требуют от ученика принципиально новых идейных подходов.
При должном усердии школьник может довольно быстро понять особенности решения уравнений и неравенств в новой теме, будь то логарифмы или тригонометрия. Ведь сама процедура нахождения множества решений остается схожей: дано конкретное уравнение или неравенство и мы с ним работаем по понятным алгоритмам.
В задачах же с параметром это не так. Ученик сталкивается не с каким-то одним уравнением или неравенством, а с целым семейством уравнений или неравенств. И в зависимости от значения параметра оно может принимать разные формы, в том числе и менять свой тип.
Соответственно и вопрос в таких задачах уже не в том, чтобы найти конкретное множество решений, а в том, чтобы исследовать, как это множество меняется при изменении параметра.
Психологически переход от отдельного уравнения к семейству уравнений сравним по сложности с переходом от отдельной арифметической задачи к абстрактным алгебраическим выкладкам.
Неподготовленному ученику очень трудно преодолеть эту психологическую сложность за несколько недель или месяцев.
Поэтому бесполезно давать обычному ученику во время подготовки к ЕГЭ сразу громоздкие уравнения одновременно с логарифмами, тригонометрическими функциям, модулями и параметрами.
Даже после разбора десятков таких примеров, у школьника не возникнет должного понимания принципов решения таких задач.
Поэтому желательно начинать знакомство с параметрами с 7-8 классов. Наиболее эффективно это делать после каждой новой темы, аккуратно вплетая в программу околопараметрические задачи.
Конечно, во многих пособиях начинают с «элементарных» задач, вроде «решить уравнение 2a(a - 2)x = a – 2 для всех значений параметра а». Но практика показывает, что даже для такой несложной задачи нужно быть достаточно подготовленным, чтобы видеть, как её решать.
Итак, давайте кратко обсудим, на какие темы в школьной программе стоит особенно обратить внимание, для того чтобы во все оружие подойти к задачам с параметрами.
Во-первых, нужно без проблем уметь решать любые уравнения и неравенства из школьного курса. То есть решать правильно, быстро и эффективно.
Это значит, что нужно знать все нюансы решения любых типов задач. В том числе, понимать, что и почему нужно делать в различных нестандартных случаях.
Например, метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств. Интересует не только магическое заклинание «плюс-минус-плюс», благодаря которому решается большинство задач с ОГЭ, а нечто более содержательное. Вас не должны смущать квадраты и более высокие степени у множителей; вы должны понимать, как быстро расставить знаки на интервалах; вы должны понимать, как меняется область определения, когда вы сократили на какой-то множитель; вы должны не бояться изолированных точек и т.д.
Только понимая решение неравенств вроде (x-1)²(x+3)≥0, вы сможете приступить к решению неравенства с параметром вида (x-1)²(x+a)≥0
Это же касается и таких простых заданий как решение квадратных уравнений. Мы с вами говорили про различные методы решения таких уравнений. У каждого ученика есть свои любимые способы. Однако, для эффективного решения задач с параметрами нужно в равной мере уметь их все применять. Даже если вы, к примеру, по какой-то причине не любите теорему Виета, вам всё равно нужно будет хорошо владеть этим способом решения.
Ну и само собой нужно уметь быстро решать уравнения и неравенства просто по определению. Например, |x|≤0, √x>0, x²<-1, |x|/x<1 и т.д. не должны вызывать у вас затруднений.
Далее вам нужно научиться строить графики функций. То есть не просто ткнуть пальцем в один из предложенных вариантов на ОГЭ, по виду отличив прямую от гиперболы или параболы, а зная все тонкости построения. В том числе нужно понимать и термины вроде «четверть», «абсцисса», «ордината», «асимптота» и пр.
В первую очередь вам нужно перейти от банального построения графиков по точкам к более продвинутым приёмам. Я имею в виду сдвиг и растяжение для квадратичной, дробно-рациональной функции и функции модуля. И само собой следует понимать, как на плоскости строятся множества y=1 и x=-3.
В целом вам нужно будет просто глубже познакомиться со стандартными функциями и их графиками. Например, с той же параболой. Вершину следует уметь находить как по формуле, так и через выделение полного квадрата. Также нужно понимать, что если вам дана квадратичная функция вида y=(x-5)(x+3), то не надо бросаться раскрывать скобки и что-то дальше вычислять. Зная про симметрию корней, вы легко найдёте ось, а с ней и вершину.
Также вы должны легко определять является ли функция чётной/нечётной/периодической и как это отображается на координатной плоскости. Желательно также уметь видеть чётность не только функций, но и уравнений. И само собой не должно возникать трудностей с областью определения функций.
Плюс ко всему желательно знать особенности построения графиков степенных, тригонометрических, показательных и проч. функций. Их в явном виде нет на экзаменах, но на их примере вы лучше поймете преобразования графиков и для более простых функций.
Также желательно понимать как по графику функции f(x) можно построить графики функций f(-x), -f(x), -f(-x), f(x-1)+2, 1-f(1-x), 2f(x), f(|x|), |f(x)| и др.
Далее вы должны понимать любой график как набор точек на координатной плоскости x0y с некоторыми свойствами.
Для этого нужно стабильно решать задачи на:
а) нахождение точек пересечения графика функции с осями;
б) нахождение точек пересечения графиков функций между собой (а для этого ещё нужно стабильно решать системы уравнений и понимать, как это соотносится с графиками функций);
в) касание двух графиков (на начальном этапе достаточно линейной и квадратичной)
Далее уже можно включить некоторые околопараметрические мотивы. То есть решать задания, в которых известен вид функции и нужно найти буквенные коэффициенты по каким-то входным данным. Типичная задача подобного рода: даны две/три точки, найти линейную/квадратичную функцию, которая проходит через них.
Для функций также нужно понимать, на что влияют их коэффициенты. Что такое k и x для линейной функции, что означают коэффициенты a и c для квадратичной функции. И как влияет дискриминант на расположение параболы. Типичная задача подобного рода: даны прямые у=2х+3-b у=kх+b+1, найти при каких k и b эти прямые будут параллельны.
Это всё, что касается функций и их графиков.
Далее вам нужно научиться решать любые уравнения не только в числах, но и буквах. Это касается как простых примеров вроде 2x-3=a или x²-5ax+6a²=0, так и более громоздких. Подобные задачи пока не являются полноценными задачами с параметром, но уже близки к ним. Можно периодически задавать вопросы вроде «при каких а задача не имеет решения?».
После таких задач, можно пробовать решать задачи на количество корней в зависимости от параметра. Это хорошо делать на примерах квадратичных и линейных уравнений. Вот здесь уже подключается полноценное исследование, т.к. мы обязаны рассмотреть в конечном счёте все значения параметра (нужно отдельно акцентировать внимание, что мы исчерпали все значения для параметра а, ничего незадублировав).
Далее нужно хорошо знать всё про системы и совокупность. Решение задач через схемы хорошо тренирует этот навык. Но нужно понимать и более тонкие моменты. Например, даны совокупность уравнений x=1 и 0=0 и система тех же самых уравнений. Какие в каждом из этих случаев будут решения? А если второе уравнение заменить на 0=1, как в таком случае найти решения? А если добавить ещё несколько уравнений и вложить системы в совокупность или наоборот? И конечно, для начала нужно понимать, как решать вырожденные уравнения вида 0=0 и 0=1…
Следующий шаг – научиться переводить уравнения с параметром в совокупность или систему. То есть (x-3)(x+4)/(x-a)=0 нужно уметь аккуратно расписывать таким образом.
После этого можно пробовать приступать к решению элементарных, но содержательных задач с параметрами вроде аx=1 или аx²-2x+1=0. То есть с полноценным исследованием и разбором особенных случаев.
Далее можно рассмотреть простые совокупности или системы вроде уравнений x=1 и x<a. И тоже исследовать, как они будут вести в зависимости от параметров.
Очень хорошим индикатором готовности работать с параметрическими задачами является уверенное решение соответствующей задачи ОГЭ из второй части.
Описанное выше это только подготовительная работа к полноценному знакомству с параметрами.
Конечно, желательно, чтобы все эти вопросы прорабатывались постепенно, начиная с 7-8 классов. Но если вы сейчас в 10-11 классе, а до этого никогда не сталкивались с параметрами, это не значит, что всё потеряно. Просто прежде, чем перейти к планомерной работе над подобными типами задач из соответствующих сборников, надо сначала аккуратно вкатиться в эту тему. А для этого нужно сначала прорешать те типы заданий, о которых говорится в этой статье.
И наконец, некоторые материалы, которые можно использовать в подобной подготовительной работе. Они пригодятся как старшеклассникам, так и преподавателям.
1. «Уравнения с параметром и нестандартные задачи. 7–9 класс» Е.Юрченко и Е.Юрченко. Книга продаётся во многих интернет-магазинах.
2. «Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром.» Фалилеева М.В. В бумажном виде я не встречал эту книгу. Её можно скачать по ссылке: https://dspace.kpfu.ru/xmlui/bitstream/handle/net/21878/05_A5-000780.pdf
Преимущество этой книги в том, что там очень хорошо структурирован материал.
3. Материалы Д.Э.Шноля по задачам с параметром. Это самые лучшие материалы для работы. Их можно скачать по здесь: https://drive.google.com/file/d/0B3B5WZErtmH0V3piMjVnX1NRVWc/view?resourcekey=0-cjNSuLd0PJ5uG-k7y4UgtA(за ссылку спасибо Ларисе Чухиль)
Чтобы ознакомиться с примерным содержанием этих материалов, можете посмотреть его лекцию для учителей на тему задач с параметрами. https://www.youtube.com/watch?v=xARXp_bjDY4
И вопрос к коллегам. Какие вы используете материалы для первичной подготовки своих подопечных к задачам с параметрами? Почему именно их?
