ENEM – это Exame Nacional do Ensino Médio – «национальный экзамен за среднее образование». Выпускники школ в Бразилии сдают ENEM, чтобы поступить в вуз. Экзамен состоит из 180 заданий, разделённых на 4 модуля: 1) гуманитарные науки, 2) естественные науки, 3) математика, 4) языки. Все задания – тестовые с 5 вариантами ответа.
Мне понравились задачи ENEM, потому что все они сюжетные и практико-ориентированные. Ученику нужно понимать, что происходит, а не механически использовать готовую волшебную формулу. Я решила перевести задачи и опубликовать для коллег: считаю, что эти задачи интересные и их можно задавать и российским ученикам.
В статье – перевод с португальского. Я использовала автоматический перевод и затем редактировала. Привожу условия задач и свои комментарии. Пишите ответы в комментарии. Если попросите, напишу статью с решениями.
Всего в экзамене 45 вопросов по математике, в эту статью поместилось 10. Если тема интересная, пишите комментарии и ставьте лайки, и я продолжу публиковать переводы.
Вопрос 1
TED – это система денежных переводов между банками. Экономист анализирует суммы, отправленные через TED между пятью банками (1, 2, 3, 4 и 5) за месяц. Для этого он упорядочил эти значения в матрице A=[aij], в которой 1≤i≤5 и 1≤j≤5, а элемент aij соответствует сумме, переведённой из банка i в банк j в течение месяца, в миллионах реалов. Обратите внимание, что элементы aii=0, потому что TED является межбанковским переводом. Получилась матрица:
Какой банк перевёл наибольшую сумму через TED?
Варианты ответа: A) 1, B) 2, C) 3, D) 4, E) 5.
Комментарий. Матрицы обычно не входят в школьную программу, поэтому большинство российских учеников не справится. Здесь достаточно знать, что i – номер строки, а j – номер столбца, ничего трудного. Хорошая простая задача на понимание условия. Добавить пояснение, что такое i и j, и можно включать задачу в ОГЭ.
Вопрос 2
В учебной компьютерной игре такие правила: нужно "выстрелами" попасть в выбранные точки. Ученики стреляют по заданной траектории. Для стрельбы ученик должен написать в окно программы уравнение прямой или окружности. Если выстрел производится по уравнению окружности, каждая точка, кроме первой, приносит 2 очка. Если по уравнению прямой, то 1 очко. В игре нужно попасть в следующие точки: A(0;4), B(4;4), C(4;0), D(2;2), E(0;2).
Ученик решил задать траекторию, которая точно попадёт по точке A (точка A не принесёт очков). Какое уравнение принесёт больше всего очков?
Варианты ответа:
Комментарий. Вот что получается, когда для абстрактной задачи пытаются придумать реальный сюжет. Я сократила текст и боюсь, что переврала: условие в оригинале длинное и путанное. Задача простая, для решения нужно построить три окружности по уравнениям, но разобраться в этих надуманных правилах труднее, чем решить.
Вопрос 3
Нужно пройти по сетке из точки В в точку А, причём нельзя заходить в (0;0). Чему равен кратчайший путь?
Варианты ответа:
Комментарий. Интересная задача. Нужно знать формулу длины окружности L=2пr и увидеть, на сколько частей лучи делят окружности. Напишите в комментарии: как вы обосновываете, что ваш путь - кратчайший? Можно ли не выполнять приблизительные вычисления?
Вопрос 4
У мастера есть цилиндрические сосуды для краски: 4 см в диаметре и 6 см в высоту. Он хочет купить коробки-органайзеры для хранения баночек с краской, сложенных вертикально крышками вверх, чтобы коробки можно было закрыть. На рынке есть пять вариантов органайзеров в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющие следующие внутренние размеры:
Какую из этих моделей должен купить мастер, чтобы хранить наибольшее количество банок в коробке?
Варианты ответа: A) I, B) II, C) III, D) IV, E) V
Комментарий. Задача могла бы быть в российском экзамене. Правда, сейчас задачи на выбор оптимального варианта – в ОГЭ, а объёмы – в ЕГЭ, так что эти темы у нас не встретятся.
Вопрос 5
Мэрия небольшого городка решила разместить столбы освещения вдоль прямой дороги, которая начинается на центральной площади и заканчивается на ферме в сельской местности. Поскольку на площади уже есть освещение, первый столб будет поставлен в 80 метрах от площади, второй – в 100 метрах, третий – в 120 метрах и так далее, соблюдая расстояние между столбами в 20 метров, а последний столб – на расстоянии 1 380 метров от площади. Мэрия может заплатить максимум 8 000 реалмов за каждый столб. Какую наибольшую сумму она может потратить на все столбы?
Варианты ответа: A) 512 000; B) 520 000; C) 528 000; D) 552 000; E) 584 000.
Комментарий. Отличная задача для ОГЭ: там последнее время любят такие расчётные задачки с реальными сюжетами. Мне такое не нравится, уж очень эти нудные вычисления далеки от математики. Единственный интересный момент – здесь легко ошибиться на единичку в подсчёте количества столбов.
Вопрос 6
Обычно продаётся серебро 975-й, 950-й и 925-й пробы. Эта классификация зависит от его чистоты. Например, серебро 975 пробы – это вещество, состоящее из 975 частей чистого серебра и 25 частей меди на 1000 частей вещества. Серебро 950 пробы состоит из 950 частей чистого серебра и 50 частей меди на 1000, а серебро 925 пробы состоит из 925 частей чистого серебра и 75 частей меди в 1000. У ювелира 10 грамм серебра 925 пробы и он хочет получить 40 грамм серебра 950 пробы для изготовления украшения. Сколько граммов чистого серебра и меди нужно добавить к имеющимся 10 граммам?
Варианты ответа: А) 29,25 и 0,75, B) 28,75 и 1,25 C) 28,50 и 1,50 D) 27,75 и 2,25 E) 25,00 и 5,00
Комментарий. Аналогичные задачи (на сплавы и смеси) есть в ЕГЭ и ОГЭ. Однако в наших задачах условия короче и чисел в тексте меньше, не даётся ничего лишнего. По опыту знаю, что бразильская задача поставит в тупик многих российских учеников: они испугаются "стену текста" и побоятся вникать. Хотя математически задача стандартная, ставлю на то, что наши ученики посчитают её трудной.
Вопрос 7
На учениях в армии три команды –Альфа, Бета и Гамма – должны пройти разными путями, с одинаковыми начальными и конечными точками. Команда Альфа шла 90 минут со средней скоростью 6 км/ч. Команда Бета тоже шла 90 минут, но средняя скорость составила 5 км/ч. Команда Гамма пришла к финишу за 60 минут со средней скоростью 6,5 км/ч. Сравните расстояния, пройденные командами.
Варианты ответа:
Комментарий. Простая задача на перевод величин: надо либо перевести время в часы, либо скорость в км/мин. В российских экзаменах такая тема тоже может встретиться, но формулировка будет отличаться: скорее всего, попросят найти расстояние только одной команды.
Вопрос 8
Уклон пандуса рассчитывается так: на каждый метр, измеренный по горизонтали, приходится x сантиметров по вертикали. В этом случае говорят, что пандус имеет наклон x%, как в примере на рисунке.
На рисунке представлен проект въезда в жилой гараж, основание которого, расположенное на 2 метра ниже уровня улицы, имеет длину 8 метров.
После того, как инженер спроектировал пандус, его уведомили, что технические стандарты муниципалитета требуют, чтобы максимальный уклон пандуса для въезда в гараж составлял 20%. Если спроектированный пандус имеет уклон более 20%, нужно изменить уровень гаража, чтобы уменьшить процент уклона при сохранении длины основания пандуса.
Чтобы соответствовать стандартам, уровень гаража должен быть...
Варианты ответа: A) поднят на 40 см, B) поднят на 50 см, C) оставлен как есть, D) опущен на 40 см, E) опущен на 50 см.
Комментарий. Убрать варианты ответа – и можно включать в ОГЭ.
Вопрос 9
Чтобы выиграть приз, участник должен вытащить подряд и без замены два чёрных шара из одной урны.
В урне А три белых шара, два чёрных и один зелёный.
В урне В шесть белых шаров, три чёрных и один зелёный.
В урне C два чёрных шара и два зелёных.
В урне D три белых шара и три чёрных.
Участник выбирает один из пяти вариантов тактики:
1) не глядя вытянуть два шара из А,
2) не глядя вытянуть два шара из В,
3) случайным образом переложить один шар из С в А, после чего не глядя вытянуть два шара из А,
4) случайным образом переложить один шар из D в C, после чего не глядя вытянуть два шара из C,
5) случайным образом переложить один шар из С в D, после чего не глядя вытянуть два шара из D.
Чтобы получить максимальную возможную вероятность выигрыша, участник должен выбрать вариант...
Варианты ответа: A) 1, B) 2, C) 3, D) 4, E) 5.
Комментарий. Задача на теорию вероятностей труднее, чем обычно в ЕГЭ. Такую задачу у нас могут предложить студенту-первокурснику. Хотя никаких сложных идей здесь нет, российские школьники избалованы более простыми задачами. В ЕГЭ эта задача выглядела бы так: «В урне А три белых шара, два чёрных и один зелёный; вытягиваем один шар; какова вероятность, что вытянули чёрный?»
Вопрос 10
Краны незаменимы на строительных площадках при работе с тяжёлыми материалами, такими как стальные балки. На рисунке показана последовательность этапов, на которых кран поднимает стальную балку с земли.
На рисунке точка О – это ортогональная проекция стального троса на плоскость земли, который остаётся вертикальным в течение всего подъёмного движения балки, начинающегося в момент времени t=0 (этап 1) и заканчивающегося в момент времени t1 (этап 3). Один конец балки поднят вертикально из точки О, а другой конец скользит по земле к точке О. На рисунке точка М – середина балки.
Какой график описывает расстояние от точки М до точки О как функцию между t=0 и t1?
Варианты ответа:
Комментарий. Такой задачи точно не может быть в российских экзаменах по математике, зато она прекрасно будет смотреться в экзамене по физике. А жаль, что у нас эти предметы так далеки друг от друга.
Бонус
Я не смогла корректно перевести один из вопросов. Запрашиваю вашу помощь в комментариях.
Подписывайтесь на канал. Здесь я публикую разные материалы по школьной математике, а также рассказываю о создании онлайн-курсов.
