Я давно ещё заинтересовался этим вопросом, и вот недавно я для изучения данного сформировал гипотезу о построении окружности: Продолжим луч AC до пересечения с окружностью во второй раз в некоторой точке M. Через центр вписанной окружности ∆ABM проведем прямую параллельную биссектрисе ∠BCM. Найдем точки пересечения с AC и BC, тогда окружность, касающаяся сторон ∆ABС в этих точках искомая.
Для доказательства гипотезы, докажем вспомогательные леммы:
Лемма о построении окружности через 2 точки и окружность:
Пусть требуется построить окружность, проходящую через данные точки A и B и касающуюся данной окружности c0. Проведем через A и B произвольную окружность c', пересекающую c0 в точках C и D, и обозначим через P точку пересечения прямых AB и CD. Далее проведем через P касательную к данной окружности и обозначим через X точку касания. Тогда окружность c, проходящая через A, B и X, будет искомой. Действительно, степень точки P относительно c0 равна PX^2= PC * PD. Применяя теорему о степени к окружности c' и двум ее секущим PCD и PAB, находим, что PC * PD = PA * PB. Отсюда следует, что PX^2= PA * PB, а значит прямая PX касается и окружности c, т. е. является общей касательной окружностей c0 и c. Следовательно, c касается c0 (в точке X). Из точки P можно провести две касательных к c0 и они дадут два решения нашей задачи. Можно показать, что других решений нет. Наше решение не работает, если прямые AB и CD окажутся параллельными. Это произойдет, если серединный перпендикуляр к AB содержит центр данной окружности. Легко понять, что в этом случае точками касания будут точки пересечения серединного перпендикуляра с окружностью.
Ч.Т.Д.
Данное построение облегчает нам дальнейшее доказательство, ведь теперь остается лишь, доказать, что точки касания будут именно в точках пересечения сторон и прямой параллельной биссектрисе.
Далее нам пригодится основная теорема:
Основная теорема гласит: На стороне BC треугольника ABC выбирается произвольная точка M. В криволинейный треугольник AMB вписана окружность, касающаяся отрезков MA и MB в точках P и Q соответственно и окружности ABC – в точке T. Тогда прямая PQ проходит через точку I.
Доказательство:
1) Первый шаг – небольшое дополнительное построение. Обозначим через γ окружность, вписанную в криволинейный треугольник AMB. Проведем прямую QI и обозначим через P’точку ее повторного пересечения с окружностью γ (первый раз они пересекаются в точке Q). Обозначим через L точку, в которой прямая AI повторно пересекает окружность ABC. Так как AI – биссектриса угла A, то L – середина дуги BC.
2) ∠BQT = ∠QP’T = ∠TAI. В самом деле, ∠BQT равен полусумме дуг CL и BT, ∠TAI равен половине дуги LT, т.е. полусумме дуг LB и BT. Но дуги CL и LB равны, следовательно, ∠BQT = ∠TAI . Наконец, ∠BQT между касательной и хордой равен углу ∠QP’T , который стягивает эта хорда.
3) Четырехугольник TAIP’– вписанный. Это следует из доказанного равенства углов ∠QP’T = ∠TAI . Значит, ∠AIT = ∠AP’T . Далее,LQ *LT = LB^2 = LI^2 . Следовательно, треугольники LQI и LIT подобны (по общему ∠ILQ и двум пропорциональным сторонам). Из этого следует, что ∠LQI = ∠ LIT . Таким образом, ∠TQP’ = ∠AIT = ∠AP’ T .
4) Равенство углов ∠TQP’ = ∠AP’T означает, что прямая AP’ касается окружности γ . Следовательно, P’ = P
Ч.Т.Д.
Благодаря основной теореме, мы можем утверждать, что если наша прямая, параллельная биссектрисе ∠BCM и прямая PQ из основной теоремы одна и та же. А значит для доказательства метода, нужно доказать, что PQ параллельна биссектрисе ∠BCM.
Данное утверждение доказывается достаточно просто, как мы знаем, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны, то вернувшись к нашему рисунку, получаем, что MP = MQ => треугольник MPQ – равнобедренный => ∠MPQ = ∠ MQP. Пусть ∠ MQP = a, то угол ∠ MPQ = a=> ∠ PMQ = 180 – 2a => ∠ AMC = 2a, так как ∠ PMQи ∠ AMC смежные. Теперь если провести биссектрису угла ∠ AMC, то биссектриса разделит угол на два угла, равных a. И из равенства соответствующих углов следует, что наши данные прямые параллельны.
Ч.Т.Д.
Что же, доказав это все, мы можем получить доказательство:
1) Согласно Основной теореме мы получаем, что искомая окружность касается сторон треугольника в точках P и Q, и I, центр вписанной окружности ABM, лежит на PQ.
2) Докажем, что PQ параллельна , биссектрисе ∠BCM. Мы знаем, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны, то вернувшись к нашему рисунку, получаем, что MP = MQ => треугольник MPQ – равнобедренный => ∠MPQ = ∠ MQP. Пусть ∠ MQP = a, то угол ∠ MPQ = a=> ∠ PMQ = 180 – 2a => ∠ AMC = 2a, так как ∠ PMQи ∠ AMC смежные. Теперь если провести биссектрису угла ∠ AMC, то биссектриса разделит угол на два угла, равных a. И из равенства соответствующих углов следует, что наши данные прямые параллельны.
3) Мы нашли точки касания, а значит согласно лемме 1, можем построить окружность.
Ч.Т.Д.
