Пролог
Натуральные числа появились в седой древности. Колесо, изобретенное неизвестным гением, их ровесник.
Здание натуральных чисел состоит из простых чисел. В статье я разберу и соберу его снова, лучше, чем было. К делу!
Определения – наше всё
Точное деление для натуральных чисел – операция деления, при которой одно натуральное число делится на другое и получается натуральное число.
Простое число – натуральное число, которое делится только на себя и на единицу.
Важный момент: в определении предполагается, что число отлично от единицы. Единица не рассматривается как простое число. Она уникум.
Составное число – натуральное число, для которого существуют хотя бы два делителя, отличных от него самого и единицы.
Аксиомы и теоремы
Математика подобна океану. Кинешь камешек в одну тему - круги на воде затронут другие.
Аксиома – утверждение, которое принимается без доказательства. Например, в эвклидовой геометрии: через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Теорема – утверждение, которое требует доказательств. Например: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Основная теорема арифметики
Теперь я отвечу на вопрос, почему простые числа – элементарные частицы.
Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых чисел, взятых в натуральных степенях, причём такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.
Основная теорема арифметики одна из важнейших теорем, дополнительные пояснения необходимы как воздух.
Почему любое натуральное число, кроме единицы? Простое число будет равно само себе в первой степени, например:
Единица осталась за бортом, что поправимо:
Теорема позволяет взглянуть на составное число с другого ракурса.
Составное число – произведение двух или более простых чисел. Причем простые числа могут быть как одинаковые, так и разные:
С точностью до порядка сомножителей означает, что можно поменять порядок простых чисел в разложении, но результат не изменится:
Приведу ещё несколько примеров.
Таблица простых чисел
Первые простые числа найти легко, чем выше значение, тем сложнее проверить, что число делится только на себя и единицу. Привожу таблицу простых чисел, меньших 1 000. Скоро она пригодится.
Привожу таблицу простых чисел, меньших 1 000. Скоро она пригодится.
Постановка задачи
Теоретический багаж на месте. Время разбрасывать камни, время их собирать, время ставить задачу.
Дано натуральное число, разложить его на простые множители, найти количество простых делителей, максимальный и минимальный простые делители.
Выводы
1. Единица не рассматривается как простое число.
2. Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых чисел, взятых в натуральных степенях, причём такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.
3. Составное число – произведение двух или более простых чисел. Причем простые числа могут быть как одинаковые, так и разные.
4. За исключением числа 2, все простые числа нечетные.
5. Если требуется разложить на простые множители четное число, то первым шагом проверьте, сколько раз оно делится на 2.
6. Если требуется разложить на простые множители нечетное число, то первым шагом проверьте, является ли оно простым, вторым - делимость на 3.