Логические связки – специальные логические символы, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Иногда логические связки также называют пропозициональными связками (от лат. proposition – предложение, суждение, высказывание).
Логика стоиков
Первая теория логических связок была разработана в рамках стоицизма. Основной единицей стоической логики является не термин (понятие), как у Аристотеля, а «высказанное» (λεϰτόν).
Следуя Аристотелю, стоики различают предложения и суждения. Предложения бывают вопросительными, восклицательными, выражающими просьбу или молитву. Но не со всеми ними можно связать суждение. Суждение оформляется в языке только как повествовательное предложение. Выражения «Идет дождь», «It’s raining», «Il pleut», «Det regner» представляют собой различные предложения на разных языках, но выражают одно суждение, один «лектон».
Только к суждению можно прилагать характеристики истинного или ложного. Предложение «Сейчас – день» выражает истинное суждение, будучи сформулированным днем; предложение «Колонна заканчивается острием» выражает ложное суждение. Логика стоиков двузначна, всякое суждение либо истинно, либо ложно. Однако при этом оно может менять свой истинностный статус. Так, например, предложение «Идет дождь» может выражать ложное суждение сегодня, но истинное – завтра.
Стоики делят суждения на простые и сложные. Последние образуются из простых при помощи различных грамматических союзов (и частиц). Центральное место стоики отводили условным суждениям и стремились все рассуждения облечь в форму условных суждений.
Логики стоической школы впервые обратились к вопросу об истинности сложных суждений.
Логика Аристотеля – это логика терминов и способов их связи в суждения субъектно-предикативной структуры и затем в умозаключения; здесь истинность простых суждений и правильность умозаключений обосновывалась объективными соотношениями между объемами понятий.
В понимании стоиков суждения о связи между общим и единичным или между двумя общими понятиями малопригодны. Они не отвергали структуру простых суждений, но их роль сводилась лишь к констатации данных непосредственного чувственного восприятия, фиксирующего свойства отдельных предметов. Истинность простых суждений обосновывалась путем непосредственного восприятия, а сложных – посредством отношений между истинностными значениями простых, входящих в сложные. Таким образом, стоики придерживались истинностно-функционального понимания всех известных логических связок.
То, как стоики характеризовали логические связки – отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, – соответствует современной трактовке этих связок в рамках классической логики высказываний. Именно стоики впервые систематически рассмотрели эти операции. При этом они не только характеризуют эти связки семантически, с точки зрения условий истинности, но и с точки зрения синтаксических аксиом и правил, выражающих их дедуктивные свойства.
Такая «современная» интерпретация логических связок убедила многих историков логики Стои (см., например, [Łukasiewicz, 1970; Mates, 1961; Kneale, Kneale, 1962; Bochenski, 1961]) рассматривать ее в качестве варианта современной логики высказываний и представлять конструкции стоической логики в современной системе записи. Однако некоторые исследователи предостерегают от этого (см. [O’Toole, Jennings, 2004]), показывая, что часто понятия стоиков отличны от тех, которыми пользуемся мы. Тем не менее параллели между логикой стоиков и логическими теориями XX века примечательны.
Логика высказываний
Сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения изучаются в рамках логики высказываний (пропозициональной логики). В отличие от логики предикатов простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно используются следующие общеизвестные грамматические связки (союзы): «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», выражение «неверно, что». В процессе символизации (формализации) естественного языка средствами логики высказываний простые высказывания замещаются пропозициональными переменными p, q, r, … с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются логическими связками (пропозициональными связками), которые получили следующие названия и обозначения:
· отрицание – аналог языкового выражения «неверно, что», «не», обозначается: ¬, ~ или чертой над отрицаемым выражением;
· конъюнкция – аналог языкового союза «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которая может опускаться;
· дизъюнкция (нестрогая) – аналог языкового «или», обозначается ∨;
· дизъюнкция (строгая) – аналог языкового «либо.., либо», обозначается ∨;
· импликация – аналог языкового «если.., то», обозначается с помощью знака ⊃ и различного рода стрелок;
· эквиваленция – аналог языкового «если и только если», «тогда и только тогда, когда», символическое обозначение: ≡ и различного рода стрелки в обе стороны.
При формализации используются также технические символы – правая скобка и левая скобка для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания и тем самым определять порядок выполнения операций. Таким образом определяется пропозициональный язык.
Правильно построенные выражения пропозиционального языка называются формулами: (1) всякая пропозициональная переменная является формулой; (2) если A и B – формулы, то ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A ∨ B, A ⊃ B, A ≡ B – формулы; (3) никакие другие выражения не являются формулами.
Из перечисленных связок отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике любые многоместные логические связки могут быть выражены через перечисленные выше.
Семантика классической логики высказываний в своем основании имеет следующие принципы:
(1) принцип двузначности: каждое простое высказывание является или истинным, или ложным.
(2) принцип экстенсиональности: истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых. Таким образом, логические связки являются знаками истинностных функций.
Однако эти принципы не являются универсальными. Они предполагают принятие достаточно сильных абстракций. Но часто при решении познавательных задач исследователь сталкивается с необходимостью выйти за рамки классической логики.
Так, например, «одной из задач науки является отличение необходимого от случайного, возможного от невозможного, но значения контекстов, содержащих термины “необходимо”, “случайно”, “возможно” и др. (эти термины называют модальностями, а соответствующие контексты – модальными), зависят не только от значений входящих в них выражений» [Бочаров, Маркин, 2008, c. 279]. То есть возникает необходимость наличия в пропозициональном языке особых связок и операторов, позволяющих работать с таким контекстами. Выразительные возможности классической логики недостаточны.
Принцип двузначности был подвергнут сомнению уже в античности. Аристотель в 9-й главе «Об истолковании» [Аристотель, 1978, с. 99–102], пытаясь опровергнуть им же изобретенный фаталистический аргумент, ставит проблему истинностного статуса высказываний о будущих случайных событиях. В XX веке Я. Лукасевич, анализируя эту аристотелевскую проблему, приходит к важному выводу, что принцип двузначности не универсален и, по крайней мере, не применим к высказываниям о будущих случайных событиях. Так в логику вводится третье истинностное значение, отличное от истины и лжи. Лукасевичем была сконструирована первая система трехзначной логики Ł3 [Łukasiewicz, 1920].
Введение в логику третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью, имело радикальные последствия для логики. В трехзначной логике мы можем конструировать новые логические связки, не существующие в двузначной логике. Лукасевич показал, что в рамках классической логики нельзя построить модальную. В Ł3 определимы модальные операторы возможности, необходимости, случайности (см. [Карпенко, 2010, с. 46]). (В разделе «Истинностные таблицы» см. табличное определение этих операторов.)
Подробнее об истинностных таблицах, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицании читайте на сайте Электронной философской энциклопедии.
