Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о чрезвычайно простой, но часто применяемой в математике функции, у которой не существует производной.
Странно, неправда ли? Ведь мы привыкли, что если производную не получается найти, то причина в кривых руках. Однако наша гостья не оставит Вам никаких шансов. Встречайте:
Эта функция, которую называют знаковой функцией записывается алгебраически следующим образом:
Почему же у неё именно нет производной? Дело в том, что в точке 0 она допускает скачок, т.е. резко изменяет значение, делая график прерывистым.
Если попробовать найти пределы слева и справа от нуля, то они окажутся равными -1 и 1, так что с производной на этих интервалах всё понятно: она существует в общепринятом виде и равна 0:
Но производная функции в точке 0 трактуется абсолютно непонятно! С геометрической точки зрения не ясно, как рисовать касательную, с другой стороны - непонятно, насколько быстро функция изменяется, да и вообще как задавать приращение, чтобы вычислить производную по определению?
Если говорить математически, то функция sgn(x) (как, впрочем, и все разрывные функции) не удовлетворяет теореме о промежуточном значении: на самом деле, например, на отрезке [-1;1] функция принимает всего лишь три значения - 1,0 и -1,в то время как "нормальные" непрерывные функции, имеющие производную принимали бы последовательно все значения на любом таком интервале:
Таким образом, у нас просто не может быть производной, так как сама функция не удовлетворяет базовым условиям.
Если бы всё было так просто
Однако в математике есть особый раздел (кто бы сомневался!), который и для такого гадкого утенка позволит найти производную, но уже в обобщенном смысле.
Речь идёт о теории обобщенных функций, придуманных для решения задач в области дифференциальных уравнений, теоретической и математической физики.
Необходимость во введении этого понятия, возникла при попытке дать строгое описание сосредоточенных (в точке, на поверхности, во времени) объектов,которые являются удобными физическими идеализациями - прямоугольный импульс, диполь, волновой фронт и т.д.
Интересно, что в этой теории говорят о слабых производных. Так вот, в этом смысле у функции sgn(x) есть вполне себе производная, которая выражается через не менее простую дельта-функцию Дирака:
Эта функция равна единице в точке 0, а во всякой другой точке - нулю. Слабая производная функции sgn(x) равна удвоенной функции Дирака.
С другой стороны, занимательно узнать, что сама функция sgn(x) является производной от функции модуля:
Значения sgn(x) слева и справа от нуля как раз соответствуют наклону "усов" модуля. В точке 0, строго говоря, опять провал. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" этому материалу и подписывайтесь на канал! Математика не для всех, но на любой вкус: сегодня теорема Коши, а завтра - фокус для всей семьи!