Указали мне тут на одну проблему: ученики не умеют применять формулы. Банально квадрат суммы правильно не могут использовать.
И вот методическая статья - как научить(ся) этому. С примером
Сразу оговорюсь - буду краток, опишу лишь одну из проблем. И, возможно, напишу более подробное продолжение.
В применении формул часто бывает так, что дети не могут правильно выделить части выражения (назову их для краткости "подвыражения"), которые становятся компонентами формулы. Ну, например, применяя переместительный закон (a+b=b+a) к формуле 5*a+b могут записать 5*b+a. Обычно, конечно, проблема возникает в более сложных примерах. Происходит это от того, что ребёнок не связывает принципа выполнения действий по порядку с конкретной формулой.
Научить видеть такие вещи можно. Для этого ученику нужно выполнять довольно простые шаги (их будет много).
1) Записывается выражение с явным указанием на все действия (то есть, если написано ab, нужно записать a*b).
2) Прописывается порядок действий.
3) Выбирается последнее действие.
4) У этого последнего действия выписываются компоненты по отдельности.
5) Если компоненты содержат в себе действия, то GOTO п. 1)
Вот такой рекурсивный алгоритм позволяет разбить цельное выражение на части (подвыражения), которые можно 1) использовать как компоненты формулы, 2) использовать как выражения, к которым применяются формулы.
Рассмотрим пример.
Выражение (2a+b)².
1) здесь записано умножение в неявном виде. Исправим:
(2*a+b)²
2) Порядок действий обычно пишут над действиями, но в статье это не удобно, я запишу без картинки: 1-умножение 2-сложение 3-степень
3) Последнее действие - степень.
4) Компонентами степени являются основание и показатель
Основание: (2*a+b)
Показатель: 2
5) Показатель степени не содержит действий, чего не скажешь об основании. Переходим к п.1
1) 2*a+b - всё прописано явно, но можно не записывать скобки
2) Порядок действий я и на этот раз запишу без картинки - 1-умножение 2-сложение
3) последнее действие - сложение
4) компоненты сложения - два слагаемых
Первое слагаемое: 2*a
Второе слагаемое: b
5) второе слагаемое не содержит действий, а вот первое - содержит. Снова выполняем этот алгоритм
1)2)3){для экономии я запишу только 4 пункт}
4) компоненты умножения - два множителя
Первый множитель: 2
Второй множитель: a
5) действия закончились.
Вот теперь мы можем сказать, что выражение (2a+b)² состоит из шести подвыражений: 2*a+b, 2, 2*a, b, 2, a.
После этого можно спокойно выбирать подвыражение для применения, например, переместительного закона на умножении (это будет 2*a), и подвыражения, которые станут компонентами формулы (2 и a).
Проблемы и подводные камни
В этом алгоритме было бы всё хорошо, однако есть кое-какие мелочи. Но Дьявол, как известно, в деталях. Итак.
Первая проблема: правильно определить компоненты действия. Для сложения (как в примере из начала статьи) иногда берут только отдельные буквы/числа, и получается, что первое слагаемое не 2*a, а просто a. Здесь ребёнку можно указать, что мы работаем с одним действием, и компонентом будет всё, что записано слева от знака. Кроме того, работает ещё вопрос "мы ничего не нарушим, если сначала сложим a и b?", на который ребята чуть повыше уровнем задумываются и говорят "нет...а, нет, нарушим". Если не задумались, можно попросить вычислить оба варианта (разумеется, в таком случае выражение должно быть числовым изначально).
Вторая проблема: сложные ситуации с равноправными действиями. Всем известно, что в математике есть чёткие правила, в каком порядке выполнять действия (по ступеням), и в выражении 5+7+15+3 (равноправные) выполнять надо три сложения слева направо, и последним будет правое сложение "(...)+3". Но благодаря ассоциативному закону, о котором редко вспоминают, можно рассматривать каждое сложение как последнее, и рассматривать, например, такие подвыражения: 5+7 и 15+3, или 5 и 7+15+3. Более того, благодаря комбинации с переместительным законом, мы можем рассматривать подвыражения, которые вообще отсутствуют в исходной записи: 15+5 и 7+3. С этой трудностью справиться гораздо сложнее (даже взрослым), и можно надеяться на опыт, разбирая каждый случай отдельно. Если уж совсем плохо, то можно дать, например, задание выписать все возможные комбинации сложения в примере - по два и по три слагаемых за раз.
Заключение
Вообще говоря, все эти действия предполагается проделывать в уме, на автомате. Именно поэтому в школах, как правило, таким тонкостям не учат, и ученикам приходится самим додумывать эту идею. Но если поднимать её на сознательный уровень, то очень быстро можно получить весьма неплохой результат
