Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю Вам снова погрузить в атмосферу школьной математики 10-11 класса. Тогда, впервые сталкиваясь с понятием предела, мы встретились и надолго запомнили такую замечательную штуку, как первый и второй замечательный пределы. Сегодня мы рассмотрим, самый простой из них. Поехали!
Вывод будет основываться практически полностью на школьной геометрии!
Итак, для начала нам потребуется нарисовать следующую конструкцию:
Из геометрических построений видно, что площадь сегмента круга OAH больше, чем площадь треугольника OAB и меньше, чем площадь треугольника ОАС. Естественно, при уменьшении угла α, этот порядок не нарушится. Запишем площади указанных фигур в виде неравенства:
Здесь использованы формулы площади треугольника через синус угла и произведение сторон, а также формула площади кругового сегмента через угол и квадрат радиуса.
После деления на ОА² (на самом деле в дальнейшем будет неважно, больше или меньше единицы этот отрезок, вот и пусть будет больше) нужно рассмотреть новые отношения слева и справа. Заметим, что:
Ну а теперь всё просто: устремляем угол α к нулю, и вспоминая, что косинус нуля равен единице, получаем первый замечательный предел:
Конечно, на последнем этапе доказательство упрощено: строго говоря, последнее неравенство так же доказывается в курсе математического анализа, которое гласит, что если слева и справа функции стремятся к одному пределу (в данном случае к единице), то и средняя функция также имеет равный предел.
- Спасибо за внимание! Любите красивую математику!